Question

閱讀與證明：

如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF＝45°，求證：BF＋DE＝EF．

分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構造出一條與BF＋DE相等的線段．如圖延長ED至點，使D＝BF，連接A，易證△ABF≌△AD，進一步證明△AEF≌△AE，即可得結論．

(1)請你將下面的證明過程補充完整．

證明：延長ED至，使D＝BF，

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠ABF＝∠AD＝90°，

∴△ABF≌△AD(SAS)

應用與拓展：如圖建立平面直角坐標系，使頂點A與坐標原點O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．

(2)設正方形邊長OB為30，當E為CD中點時，試問F為BC的幾等分點？并求此時F點的坐標；

(3)設正方形邊長OB為30，當EF最短時，直接寫出直線EF的解析式：________．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∴AF＝A，∠BAF＝∠DA 　　∵∠AE＝∠AD＋∠DAE＝∠BAF＋∠DAE 　　＝∠DAB－∠EAF＝45°， 　　又∵∠EAF＝45°， 　　∴∠AE＝∠EAF 　　∴△AEF≌△AE(3分) 　　∴EF＝E＝ED＋D＝ED＋BF(4分) 　　(2)解：設BF＝a，則CF＝30－a，EF＝15＋a 　　在Rt△CEF中 　　EC2＋CF2＝EF2 　　∴152＋(30－a)2＝(15＋a)2 　　∴a＝10(6分) 　　∴F為BC的三等分點(7分) 　　∴F(30，10)(8分) 　　(3)y＝－x＋30(10分)