Question

閱讀與證明：
如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，

求證：BF+DE=EF．
分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補(bǔ)短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構(gòu)造出一條與BF+DE相等的線段．如圖1延長ED至點(diǎn)F′，使DF′=BF，連接A F′，易證△ABF≌△ADF′，進(jìn)一步證明△AEF≌△AEF′，即可得結(jié)論．
（1）請你將下面的證明過程補(bǔ)充完整．
證明：延長ED至F′，使DF′=BF，
∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS）
應(yīng)用與拓展：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，使頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．
（2）設(shè)正方形邊長OB為30，當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，試問F為BC的幾等分點(diǎn)？并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)正方形邊長OB為30，當(dāng)EF最短時(shí)，直接寫出直線EF的解析式：______．

Answer 1

（1）證明：延長ED至F′，使DF′=BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
∴△ABF≌△ADF’（SAS），
∴AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，
∵∠F′AE=∠F′AD+∠DAE=∠BAF+∠DAE=∠DAB-∠EAF=45°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠F′AE=∠EAF，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′=ED+DF′=ED+BF；

（2）解：設(shè)BF=a，則CF=30-a，EF=ED+FB=15+a，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：EC²+CF²=EF²，
∴15²+（30-a）²=（15+a）²，
∴a=10，
∴F為BC的三等分點(diǎn)，
∴F（30，10）；

（3）解：當(dāng)CE=CF時(shí)，EF最短，此時(shí)△CEF為等腰直角三角形，
設(shè)F坐標(biāo)為（30，b），可得FB=b，
∴CF=CE=BC-FB=30-b，
∴EF=（30-b），
又EF=FB+DE，∴（30-b）=2b，
解得：b==30-30，
∴FB=DE=30-30，
∴E（30-30，30），F(xiàn)（30，30-30），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
將E和F的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
則直線EF的解析式為y=-x+30．
故答案為：y=-x+30．
分析：（1）延長EDF′，使DF′=BF，由ABCD為正方形，根據(jù)正方形的四條邊相等得到AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，利用SAS可得出三角形ABF與三角形ADF′全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AF′，∠BAF=∠DAF′，由∠EAF為45°，得到∠DAE+∠FAB=45°，等量代換可得出∠EAF′=45°，然后利用SAS得到三角形AEF與三角形AEF′，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EF=EF′，而EF′=ED+DF′，再將DF′換為BF即可得證；
（2）設(shè)BF=a，由CB-FB表示出CF，由EF=ED+FB表示出EF，在直角三角形CEF中，利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值為10，可得出F為BC的三等分點(diǎn)；
（3）當(dāng)CE=CF時(shí)，EF最短，此時(shí)△CEF為等腰直角三角形，由題意設(shè)出F（30，b），即FB=b，由CB-FB表示出CF，即為CE，由EF=BF+DE=2BF=2b，在直角三角形CEF中，由表示出的CF與CE利用勾股定理表示出EF，可列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出E與F的坐標(biāo)，設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，將E和F的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，進(jìn)而確定出直線EF的解析式．
點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中根據(jù)題意得到當(dāng)CE=CF時(shí)，EF最短是解第三問的關(guān)鍵．