Question

已知，如圖，拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A，B，點A的坐標為（-4，0），對稱軸是x=-1．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的動點，過點M作MN∥AC，分別交y軸、BC于點P、N，連接CM．當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A，B，點A的坐標為（-4，0），對稱軸是x=-1，利用待定系數法求解即可求得二次函數的解析式；
（2）由（1）即可求得點B的坐標，則可求得AB與BM的長，又由MN∥AC，即可證得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得NE的長，S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM，求得S_△CMN=，則可求得△CMN的面積最大時，點M的坐標；
（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），則可證得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的長，又由MN∥AC，證得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面積，然后由S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM求得△CPN的面積，又由S_△ABC=AB•OC=12，求其比值即可求得答案．
解答：解：（1）由題意，得，
解得，
∴所求拋物線的解析式為：．

（2）設點M的坐標為（m，0），過點N作NE⊥x軸于點E．
由，得x₁=-4，x₂=2．
∴點B的坐標為（2，0）．
∴AB=6，BM=2-m．
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC．
∴，
即．
∴．
∴S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM====．
又∵-4≤m≤2，
∴當m=-1時，S_△CMN有最大值3，此時M（-1，0）．

（3）∵A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=4，
∵MN∥AC，
∴∠PMO=∠CAO=45°，
∴△MOP是等腰直角三角形，
∴點P的坐標為（0，1），
∴CP=3，
∴S_△CPM=CP•MO=，
∴S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM=3-=，
∵S_△ABC=AB•OC=12，
∴．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的判定與性質以及三角形面積的求解方法等知識．題目綜合性很強，解題時注意數形結合思想的應用．