【題目】如圖,已知線段, 是上的一動點,是的中點,以為邊作正方形,點關(guān)于射線的對稱點為 ,連接、,直線交于點.
(1)如圖1,當點在線段上,且,求的度數(shù);
(2)小明在解題時發(fā)現(xiàn):當點在線段上時,線段,,之間滿足,那么你認為當點在線段上時(如圖2),他的結(jié)論是否還成立?若成立,請證明,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,點在上,且,當點從點運動到點時,直接寫出點所經(jīng)過的路徑長.
【答案】(1)∠AFD=45 ;(2)成立,理由見解析;(3)點所經(jīng)過的路徑長為.
【解析】
(1)根據(jù)點關(guān)于射線的對稱點為,得出AE=AB,∠EAP=∠PAB=25,再根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED,然后根據(jù)三角形的外角即可得出結(jié)論
(2)連接BF、BD,先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BD=2AD,再根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角和定理得出∠AFD=45,從確定BFD 是直角三角形,即可得出結(jié)論
(3)當點P運動到點Q時,BP=2,解直角三角形△ABP,得出∠BAP=30,再根據(jù)∠AFD=∠AOD,可得點F所經(jīng)過的路徑長為以點O為圓心,以OA長為半徑,圓心角∠AOF=150的弧長,即可求出答案
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD,∠BAD=90
∵點B與點E關(guān)于射線AP對稱
∴AE=AB,∠EAP=∠PAB=25
∴AE=AD,∠EAD=∠EAB+∠BAD=140
∴∠AED=(180-∠EAD)= (180-140)=20
∴∠AFD=∠AED+∠EAP=20+25=45
(2)成立
理由如下:連接BF、BD,
在RtABD中,BD=AB+AD=2AD
∵點B與點E關(guān)于射線AP對稱
∴BF=EF ,AB=AE=AD,∠AFB=∠AFD
∴∠BAF=∠EAF,∠ADE=∠AED
∵∠AED是△AEF的外角
∴∠AED=∠EAF+∠AFD
又∵∠DAE=90-2∠EAF
∴在△ADE中,∠DAE+∠ADE+∠AED=180
∴90-2∠EAF+2(∠EAF+∠AFD)=180
∴∠AFD=45
∴∠BFD=2∠AFD=90
∴在RtBFD中,B F+DF=BD
∴EF+DF=2AD
(3)點所經(jīng)過的路徑長為.
設(shè)AC、BD相交于點O,則
OA=AB=
∵在點F的運動過程中,∠AFD=45
∴∠AFD=∠AOD
當點P運動到點Q時,BP=2
在Rt△ABP中,tan∠BAP=
∴∠BAP=30∴∠CAF=15
∴點F所經(jīng)過的路徑長為以點O為圓心,以OA
∴點F所經(jīng)過的路徑長為.
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【題目】成都市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的成本為30元/件,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖:
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當該產(chǎn)品的售價為多少時,該企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?(注:年利潤=年銷售量×(銷售單價﹣成本單價))
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【題目】某商場購進一種每件價格為90元的新商品,在商場試銷時發(fā)現(xiàn):銷售單價元件與每天銷售量件之間滿足如圖所示的關(guān)系.
求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出售價定為多少時,每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】《海島算經(jīng)》第一個問題的大意是:如圖,要測量海島上一座山峰的高度,立兩根高丈的標桿和,兩竿之間的距步,成一線,從處退行步到,人的眼睛貼著地面觀察點,三點成一線;從處退行步到,從觀察點,三點也成一-線.試計算山峰的高度及的長. (這里步尺,丈尺,結(jié)果用丈表示) .怎樣利用相似三角形求得線段及的長呢?請你試一試!
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【題目】定義:若一個四邊形能被其中一條對角線分割成兩個相似三角形,則稱這個四邊形為“友好四邊形”.
(1)如圖1,在的正方形網(wǎng)格中,有一個網(wǎng)格和兩個網(wǎng)格四邊形與,其中是被分割成的“友好四邊形”的是 ;
(2)如圖2,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點落在邊,過點作交的延長線于點,求證:四邊形是“友好四邊形”;
(3)如圖3,在中,,,的面積為,點是的平分線上一點,連接,.若四邊形是被分割成的“友好四邊形”,求的長.
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【題目】如圖,點在平行四邊形的對角線上,過點、分別作、的平行線相交于點,連接,.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,,,求的長.
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【題目】設(shè)平面內(nèi)一點到等邊三角形中心的距離為d,等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R .對于一個點與等邊三角形,給出如下定義:滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點.在平面直角坐標系xOy中,等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A(0,2),B(﹣,﹣1),C(,﹣1).
(1)已知點D(2,2),E(,1),F(,﹣1).在D,E,F中,是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點的是 ;
(2)如圖1,過點A作直線交x軸正半軸于M,使∠AMO=30°.
①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點P(m,n),求m的取值范圍;
②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b,當b滿足什么條件時,直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點;(直接寫出答案,不需過程)
(3)如圖2,點Q為直線y=﹣1上一動點,⊙Q的半徑為.當Q從點(﹣4,﹣1)出發(fā),以每秒1個單位的速度向右移動,運動時間為t秒.是否存在某一時刻t,使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點?如果存在,請直接寫出所有符合題意的t的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】某游樂場試營業(yè)期間,每天運營成本為1000元.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),每天售出的門票張數(shù)(張)與門票售價(元/張)之間滿足一次函數(shù),設(shè)游樂場每天的利潤為(元).(利潤=票房收入-運營成本)
(1)試求與之間的函數(shù)表達式.
(2)游樂場將門票售價定為多少元/張時,每天獲利最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,E,F分別是AB,DC上的點,且,連接DE,BF,AF.
(1)求證:四邊形DEBF是平行四邊形;
(2)若AF平分,求AF的長.
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