Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動．動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時，點(diǎn)P和直線EF均停止運(yùn)動．連結(jié)FP，設(shè)動點(diǎn)P與動直線EF同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時，求梯形OPFE的面積．
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)當(dāng)t=1秒時，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，由圖形可知點(diǎn)F與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)都為1，把y=1代入y=-x+20中，
求出x的值，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后根據(jù)梯形的面積公式即可得出答案；
（2）先設(shè)t=t₀時，根據(jù)圖形得出P、E、F的坐標(biāo)，再根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計算即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（20，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，20），
∴當(dāng)t=1秒時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（17，0），E（0，1），
由圖形可知點(diǎn)F與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)都為1，把y=1代入y=-x+20中，
解得x=19，
∴F（19，1），
梯形OPFE的面積S=

1

2

（EF+OP）×OE=18，
∴當(dāng)t=1秒時，梯形面積是18；

（2）設(shè)t=t₀時，由圖可知P（20-3t₀，0），E（0，t₀），F(xiàn)（20-t₀，t₀），則：
梯形OPFE的面積S=

1

2

×（EF+OP）×OE=

1

2

×（20-t₀+20-3t₀）×t₀=-2（t₀-5）²+50，
當(dāng)t₀=5時S有最大值，則最大值為50，
當(dāng)t=5時，梯形OPFE的面積最大，最大為50．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是根據(jù)直線求點(diǎn)的坐標(biāo)，梯形的面積公式，利用二次函數(shù)的解析式求最值問題，在圖形中滲透運(yùn)動的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．