【題目】閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

如圖1,ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長ADE,使得DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>ACD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD),把AB、AC2AD集中在ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2AE8,則1AD4

感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)”“中線字樣,可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.

1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在ABC中,DBC邊上的中點(diǎn),DEDF,DEAB于點(diǎn)EDFAC于點(diǎn)F,連接EF

①求證:BE+CFEF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;

2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2ABFAD的中點(diǎn),作CEAB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結(jié)EF、CF,那么下列結(jié)論①∠DCF=BCD;EF=CFSBEC=2SCEF;④∠DFE=3AEF.中一定成立是 (填序號).

圖1 圖2 圖3

【答案】(1)①證明見解析;②BE2+CF2=EF2;(2)①②④.

【解析】試題分析:1可按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等,把CFBE轉(zhuǎn)移到一個三角形中,利用三角形的三邊關(guān)系求解即可;②由∠A=90°,可得∠EBC+FCB=90°由①中的全等得到∠C=CBG;即可得ABC+CBG =90°EBG=90°,由此可得可得三邊之間存在勾股定理關(guān)系;2ABCD中,AD=2AB,FAD的中點(diǎn),可得AF=FD=CD,即可得DFC=DCF;再由ADBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DFC=FCB,所以DCF=BCF,根據(jù)角平分線的定義可得DCF=BCD,正確;延長EF,交CD延長線于M,根據(jù)已知條件易證AEF≌△DMF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FE=MF,AEF=M,又因CEAB可得AEC=90°,所以AEC=ECD=90°FM=EF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FC=FM②正確;③由EF=FM可得SEFC=SCFM,又因MCBE,即可得SBEC2SEFC,所以SBEC=2SCEF錯誤,即③錯誤;設(shè)∠FEC=x,則∠FCE=x,所以DCF=DFC=90°x根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得EFC=180°2x,所以EFD=90°x+180°2x=270°3x,再由AEF=90°x,即可得DFE=3AEF,正確.

試題解析:

延長FDG,使得DG=DF,連接BGEG.(或把CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到BGD),

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG,

DEDF,DF=DG,

EF=EG

BEG中,BE+BGEG,即BE+CFEF

②若∠A=90°,則∠EBC+FCB=90°,

由①知∠FCD=DBG,EF=EG

∴∠EBC+DBG=90°,即∠EBG=90°,

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2,

BE2+CF2=EF2;

2①∵FAD的中點(diǎn),

∴AF=FD,

∵在ABCD中,AD=2AB,

∴AF=FD=CD

∴∠DFC=∠DCF,

∵AD∥BC

∴∠DFC=∠FCB,

∴∠DCF=∠BCF,

∴∠DCF=BCD,故此選項(xiàng)正確;

②延長EF,交CD延長線于M,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD

∴∠A=∠MDF,

∵FAD中點(diǎn),

∴AF=FD,

在△AEF和△DFM中, ,

∴△AEF≌△DMFASA),

∴FE=MF,∠AEF=∠M,

∵CE⊥AB,

∴∠AEC=90°,

∴∠AEC=∠ECD=90°,

∵FM=EF

∴FC=FM,故②正確;

③∵EF=FM,

∴SEFC=SCFM

∵M(jìn)CBE,

∴SBEC2SEFC

SBEC=2SCEF錯誤;

④設(shè)∠FEC=x,則∠FCE=x,

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,

∴∠EFC=180°﹣2x,

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,

∵∠AEF=90°﹣x,

∴∠DFE=3∠AEF,故此選項(xiàng)正確.

故正確答案為:①②④.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BCAC上,且DE∥AB,過點(diǎn)EEF⊥DE,交BC的延長線于點(diǎn)F.

1)求∠F的度數(shù);

2)若CD=2,求DF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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如圖1,ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

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1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在ABC中,DBC邊上的中點(diǎn),DEDF,DEAB于點(diǎn)EDFAC于點(diǎn)F,連接EF

①求證:BE+CFEF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;

2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,FAD的中點(diǎn),作CEAB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結(jié)EF、CF,那么下列結(jié)論①∠DCF=BCD;EF=CF;SBEC=2SCEF;④∠DFE=3AEF.中一定成立是 (填序號).

圖1 圖2 圖3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段,完成所提出的問題.

探究1:如圖l,在ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BOCO的交點(diǎn),通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+A,理由如下:

BOCO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴∠1=ABC, 2=ACB

∴∠l+2=(ABC+ACB)= (180-A)= 90-A

∴∠BOC=180-(1+2) =180-(90-A)=90+A

(1)探究2;如圖2中,OABC與外角ACD的平分線BOCO的交點(diǎn),試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請說明理由.

(2)探究3:如圖3中, O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BOCO的交點(diǎn),則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(直接寫出結(jié)論)

(3)拓展:如圖4,在四邊形ABCD中,O是∠ABC與∠DCB的平分線BOCO的交點(diǎn),則∠BOC與∠A+D有怎樣的關(guān)系?(直接寫出結(jié)論)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1所示,在ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM,速度為1cm/s,同時,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CB方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s,當(dāng)△PNM停止平移時,點(diǎn)Q也停止運(yùn)動,如圖2所示,設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<4).

(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥MN?
(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使得PQ=QM,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】養(yǎng)成良好的早鍛煉習(xí)慣,對學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活非常有益某中學(xué)為了了解七年級學(xué)生的早鍛煉情況,校政教處在七年級隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,并對這些學(xué)生通常情況下一天的早鍛煉時間分鐘進(jìn)行了調(diào)查現(xiàn)把調(diào)查結(jié)果分為A,B,CD四組,如下表所示;同時,將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

組別

早鍛煉時間

A

B

C

D

請根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:

扇形統(tǒng)計(jì)圖中D所在扇形的圓心角度數(shù)為______;

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

已知該校七年級共有1200名學(xué)生,請你估計(jì)這個年級學(xué)生中有多少人一天早鍛煉的時間不少于20分鐘.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′,那么A(﹣2,5)的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1=2,CFAB,DEAB,求證:FGBC.

證明:CFABDEAB 已知

∴∠BED=90°,BFC=90°

∴∠BED=BFC ( )

EDFC

∴∠1=BCF ( )

∵∠2=1 已知

∴∠2=BCF ( )

FGBC ( )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是一張平行四邊形紙片ABCD,要求利用所學(xué)知識將它變成一個菱形,甲、乙兩位同學(xué)的作法分別如下:

對于甲、乙兩人的作法,可判斷(  )

A. 甲正確,乙錯誤 B. 甲錯誤,乙正確

C. 甲、乙均正確 D. 甲、乙均錯誤

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同步練習(xí)冊答案