Question

【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A,理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB

∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A

∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A

(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

(2)探究3：如圖3中, O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=；（2）探究3：結(jié)論∠BOC=90°－；（3）拓展：結(jié)論

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；

（3）同（1）的求解思路．

（1）探究2結(jié)論：∠BOC=∠A．

理由如下：如圖，

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，

∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，

∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，

即∠BOC=∠A；

（2）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），

在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），

=180°-（180°+∠A），

=90°-∠A；

故答案為：∠BOC=90°-∠A．

（3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），

在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．

故答案為：∠BOC=（∠A+∠D）．