Question

（1）如圖1，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，猜想線段MN、BM與DN之間有怎樣的關系？并證明．
（2）如圖2，已知四邊形ABCD中，AB⊥BC于點B，AD⊥CD于點D，AB=AD，∠BAC=120°，∠MAN=60°，（1）中線段BM與DN之間的關系還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）張大爺有一塊五變形的土地，如圖3，已知AB=AE=6，BC=4，DE=3，∠BAE=2∠CAD，AB⊥BC于點B，AE⊥DE于點E，請你幫助張大爺計算這塊土地的面積．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）延長CD到F，使DF=BM，連接AF，根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，∠BAD=90°，證△ABM≌△ADF，推出AM=AF，∠FAD=∠BAM，求出∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠NAM，證出△MAN≌△FAN即可；
（2）延長CD到F，使DF=BM，連接AF，證△ABM≌△ADF，推出AM=AF，∠FAD=∠BAM，求出∠FAN=∠NAM，證出△MAN≌△FAN即可；
（3）延長DE到F，使EF=BC，連接AF，證△ABC≌△AEF，推出AC=AF，∠FAE=∠BAC，求出∠FAD=∠DAC，證△FAD≌△CAD，得出S_△DAC=S_△FAD=S_△EAD+S_△BAC，推出這塊土地的面積是2S_△FAD，代入求出即可．

解答：
（1）MN=BM+DN，
證明：延長CD到F，使DF=BM，連接AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，∠BAD=90°，
在△ABM和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BM=DF

∴△ABM≌△ADF，
∴AM=AF，∠FAD=∠BAM，
∵∠DAB=90°，∠NAM=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=45°=∠NAM，
在△MAN和△FAN中

AN=AN ∠MAN=∠FAN AM=AF

∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN．

（2）還成立，
證明：延長CD到F，使DF=BM，連接AF，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°，
在△ABM和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BM=DF

∴△ABM≌△ADF，
∴AM=AF，∠FAD=∠BAM，
∵∠DAB=120°，∠MAN=60°，
∴∠DAN+∠BAM=60°，
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=60°=∠NAM，
在△MAN和△FAN中

AN=AN ∠MAN=∠FAN AM=AF

∴△MAN≌△FAN，
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN．

（3）解：延長DE到F，使EF=BC，連接AF
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠ABC=∠AED=∠AEF=90°，
在△ABC和△AEF中

AB=AE ∠B=∠AEF BC=EF

∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，∠FAE=∠BAC，
∵∠BAE=2∠DAC，
∴∠DAE+∠BAC=∠DAC，
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=∠BAC+∠EAD=∠DAC，
在△FAD和△CAD中

AD=AD ∠FAD=∠DAC AF=AC

∴△FAD≌△CAD，
∴S_△DAC=S_△FAD=S_△EAD+S_△BAC，
即這塊土地的面積是2S_△FAD=2×

1

2

DF×AE=（4+3）×6=42．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，證明過程類似．