【題目】已知拋物線l1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E(4,0),與y軸交于點(diǎn)D(0,﹣2).
(1)求拋物線l2的解析式;
(2)點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線l1于點(diǎn)M,交拋物線l2于點(diǎn)N.
①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)CM=DN≠0時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2(2)①(,0)②(1,0),或(,0)
【解析】試題分析:(1)、首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),然后將所求的二次函數(shù)設(shè)成交點(diǎn)式,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式;(2)、首先根據(jù)題意求出AB的長(zhǎng)度,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),根據(jù)題意得出M和N的點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)四邊形的面積=AB·MN得出函數(shù)解析式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值;(3)、作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM與DN不平行,得出四邊形CDNM為等腰梯形,根據(jù)題意得出△CGM和△DNH全等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),根據(jù)和為1求出方程的解,得出點(diǎn)P的坐標(biāo);當(dāng)CM∥DN時(shí),四邊形CDNM為平行四邊形,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程,從而求出x的值得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵令﹣x2+2x+3=0, 解得:x1=﹣1,x2=3, ∴A(﹣1,0),B(3,0).
設(shè)拋物線l2的解析式為y=a(x+1)(x﹣4). ∵將D(0,﹣2)代入得:﹣4a=﹣2, ∴a=. ∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2;
(2)①如圖1所示:
∵A(﹣1,0),B(3,0), ∴AB=4.
設(shè)P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2﹣x﹣2). ∵M(jìn)N⊥AB,
∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10(﹣1<x<3). ∴當(dāng)x=時(shí),SAMBN有最大值.
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為(,0).
②如圖2所示:作CG⊥MN于G,DH⊥MN于H,如果CM與DN不平行.
∵DC∥MN,CM=DN, ∴四邊形CDNM為等腰梯形. ∴∠DNH=∠CMG.
在△CGM和△DNH中 , ∴△CGM≌△DNH. ∴MG=HN. ∴PM﹣PN=1.
設(shè)P(x,0),則M(x,﹣x2+2x+3),N(x, x2﹣x﹣2).
∴(﹣x2+2x+3)+(x2﹣x﹣2)=1, 解得:x1=0(舍去),x2=1. ∴P(1,0).
當(dāng)CM∥DN時(shí),如圖3所示:∵DC∥MN,CM∥DN, ∴四邊形CDNM為平行四邊形.
∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣(x2﹣x﹣2)=5, ∴x1=0(舍去),x2=,
∴P(,0).
綜上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),或(,0).
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x | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
y | ... | -5 | 0 | 3 | 4 | 3 | ... |
根據(jù)表格中的信息回答:若y=-5,則對(duì)應(yīng)x的值是__________.
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