Question

【題目】已知拋物線l1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（4，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣2）．

（1）求拋物線l2的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線l1于點(diǎn)M，交拋物線l2于點(diǎn)N．

①當(dāng)四邊形AMBN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)CM=DN≠0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2（2）①（，0）②（1，0），或（，0）

【解析】試題分析：(1)、首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將所求的二次函數(shù)設(shè)成交點(diǎn)式，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式；(2)、首先根據(jù)題意求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，根據(jù)題意得出M和N的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)四邊形的面積=AB·MN得出函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值；(3)、作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行，得出四邊形CDNM為等腰梯形，根據(jù)題意得出△CGM和△DNH全等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)和為1求出方程的解，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)CM∥DN時(shí)，四邊形CDNM為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程，從而求出x的值得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）∵令﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）．

設(shè)拋物線l2的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）． ∵將D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2， ∴a=． ∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2；

（2）①如圖1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4．

設(shè)P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）． ∵M(jìn)N⊥AB，

∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）． ∴當(dāng)x=時(shí)，SAMBN有最大值．

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（，0）．

②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN， ∴四邊形CDNM為等腰梯形． ∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ， ∴△CGM≌△DNH． ∴MG=HN． ∴PM﹣PN=1．

設(shè)P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．

∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x﹣2）=1， 解得：x1=0（舍去），x2=1． ∴P（1，0）．

當(dāng)CM∥DN時(shí)，如圖3所示：∵DC∥MN，CM∥DN， ∴四邊形CDNM為平行四邊形．

∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣2）=5， ∴x1=0（舍去），x2=，

∴P（，0）．

綜上所述P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），或（，0）．