Question

如圖，直線y=-

1

2

x+2與x軸y軸交于A、B兩點，AC⊥AB，交雙曲線y=

k

x

（x＜O）于C點，且BC交x軸于M點，BM=2CM，則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：計算題,壓軸題

分析：作CD⊥OA于D，先確定B點坐標為（0，2），A點坐標為（0，4），得到OB=2，OA=4，易證得Rt△BMO∽Rt△CMD，則

OB

CD

=

BM

MC

，而BM=2CM，OB=2，則可計算出CD=1，然后再證明Rt△BAO∽Rt△ACD，利用相似比可計算出AD，于是可確定C點坐標，然后把C點坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可得到k的值．

解答：解：作CD⊥OA于D，如圖，
把x=0代入y=-

1

2

x+2得y=2，把y=0代入y=-

1

2

x+2得-

1

2

x+2=0，解得x=4，
∴B點坐標為（0，2），A點坐標為（0，4），即OB=2，OA=4，
∵CD⊥OA，
∴∠CDM=∠BOM=90°，
而∠CMD=∠BMO，
∴Rt△BMO∽Rt△CMD，
∴

OB

CD

=

BM

MC

，
而BM=2CM，OB=2，
∴CD=1，
∵AC⊥AB，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∴Rt△BAO∽Rt△ACD，
∴

OB

AD

=

OA

CD

，即

2

AD

=

4

1

，
∴AD=

1

2

，
∴OD=OA-DA=4-

1

2

=

7

2

，
∴C點坐標為（

7

2

，-1），
把C（

7

2

，-1）代入y=

k

x

得k=-

7

2

．
故答案為-

7

2

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；熟練運用相似比進行幾何計算．