Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，EF⊥BC，垂足為F．如果CD=16，AE=4，則BF為________．

Answer 1

分析：作輔助線AC構(gòu)造直角三角形ACB，在Rt△ACB中利用射影定理求得BE=16；然后在直角三角形ACE中由勾股定理求得AC=4；最后通過AA判定Rt△BEFR∽Rt△CAE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得BF的長度．
解答：解：連接AC．
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=CD，∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是90°）；
在Rt△ACB中，CE²=AE•BE；
又果CD=16，AE=4，
∴BE=16；
在Rt△ACE中，AC==4（勾股定理）；
∵EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠BEF=CAE（兩直線平行，同位角相等）；
在Rt△BEFR和Rt△CAE中，
∠BEF=CAE，∠BFE=∠CEA=90°，
∴Rt△BEF∽Rt△CAE（AA），
∴=（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∴BF=；
故答案為：．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、射影定理及垂徑定理．解答此題時，通過作輔助線AC，利用圓周角定理來構(gòu)造直角三角形、相似三角形Rt△BEF和Rt△CAE，然后通過解直角三角形求得BE、AC的長度，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得BF的長度．