Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），連接CP，過點P作PQ⊥CP交AD邊于點Q，連接CQ．

（1）當△CDQ≌△CPQ時，求AQ的長；
（2）取CQ的中點M，連接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵△CDQ≌△CPQ，

∴DQ=PQ，PC=DC，

∵AB=DC=5，AD=BC=3，

∴PC=5，

在Rt△PBC中，PB==4，

∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，

設(shè)AQ=x，則DQ=PQ=3﹣x，

在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，

解得x=，

∴AQ=．

（2）

如圖2，過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，

∵MD⊥MP，

∴∠PMD=90°，

∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，

∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中點，

根據(jù)直角三角形直線的性質(zhì)求得DM=PM=QC，

在△MDF和△PME中，

，

∴△MDF≌△PME（AAS），

∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=DC=，

∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位線，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，先證得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根據(jù)梯形的中位線的性質(zhì)定理即可求得．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．