Question

【題目】已知函數(shù)y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m為常數(shù)）．
（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ．
A.0
B.1
C.2
D.1或2
（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上．
（3）當(dāng)﹣2≤m≤3時(shí)，求該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）D
（2）證明：y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣ ）2+ ，

把x= 代入y=（x+1）2得：y=（ +1）2= ，

則不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上

（3）解：設(shè)函數(shù)z= ，

當(dāng)m=﹣1時(shí)，z有最小值為0；

當(dāng)m＜﹣1時(shí)，z隨m的增大而減��；

當(dāng)m＞﹣1時(shí)，z隨m的增大而增大，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，z= ；當(dāng)m=3時(shí)，z=4，

則當(dāng)﹣2≤m≤3時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍是0≤z≤4

【解析】解：（1）∵函數(shù)y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m為常數(shù)）， ∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，
則該函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1或2，
故選D；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．