Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+ x+2與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）試求A，B，C的坐標(biāo)；
（2）將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣ x2+ x+2，

解得：x1=﹣1，x2=4，

則A（﹣1，0），B（4，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

故C（0，2）

（2）

解：①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，

∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，

∴D（3，﹣2）；

②∵將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD，

∴AC=BD，AD=BC，

∴四邊形ADBC是平行四邊形，

∵AC= = ，BC= =2 ，

AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形ADBC是矩形

（3）

解：由題意可得：BD= ，AD=2 ，

則 = ，

當(dāng)△BMP∽△ADB時(shí)，

= = ，

可得：BM=2.5，

則PM=1.25，

故P（1.5，1.25），

當(dāng)△BMP1∽△ABD時(shí)，

P1（1.5，﹣1.25），

當(dāng)△BMP2∽△BDA時(shí)，

可得：P2（1.5，5），

當(dāng)△BMP3∽△BDA時(shí)，

可得：P3（1.5，﹣5），

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）

【解析】（1）直接利用y=0，x=0分別得出A，B，C的坐標(biāo)；（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長(zhǎng)得出D點(diǎn)坐標(biāo)；②利用平行四邊形的判定方法結(jié)合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀；（3）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合三角形各邊長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．