Question

如圖 所示，拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求線段AC的長；
（2）求tan∠CBA的值；
（3）連接AC，試問在x軸左側(cè)否存在點(diǎn)Q，使得以C、O、Q為頂點(diǎn)的三角形和△OAC相似？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
令x=0得y=3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
∴AC===；

（2）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=3，OC=3，
∴tan∠CBA===1；

（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），
∵Q點(diǎn)在x軸左側(cè)否，
∴OQ=-x，
當(dāng)△QOC∽△AOC時(shí)，
∴，
即：，
∴x=-3，
∴此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）；
當(dāng)△CQO∽△ACO
∴，
即：
解得x=-9，
∴此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-9，0）
∴在Y軸左側(cè)否存在點(diǎn)Q（-3，0）和（-9，0），使得以C、O、Q為頂點(diǎn)的三角形和△OAC相似．
分析：（1）分別令x=0和y=0求得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），據(jù)此可以求得AC的長；
（2）線段OC的長除以線段OB的長即為tan∠CBA的值；
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），利用以C、O、Q為頂點(diǎn)的三角形和△OAC相似即可得到有關(guān)x的方程，求得x的值即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中還涉及到了相似三角形的判定及性質(zhì)，是一道比較不錯(cuò)的綜合性題目．