Question

（2011•荊州三模）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE=45°．將△AEC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接DF．
（1）請(qǐng)猜想DF與DE之間有何數(shù)量關(guān)系？
（2）證明你猜想的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）猜想：DF=DE．
（2）△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針90°旋轉(zhuǎn)后，得到△AFB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠FAE=90°，EC=BF，AE=AF，而∠DAE=45°，得到∠DAF=90°-45°=45°，根據(jù)SAS證出△ADF≌△ADE，則DF=DE．

解答：（1）解：猜想：DF=DE；

（2）證明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．                
∵將△AEC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAC，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=45°=∠DAE．
在△ADF和△ADE中，

AF=AE ∠FAD=∠DAE AD=AD

，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．