Question

如果有一個(gè)三位數(shù)的奇數(shù)，它除以11所得的商，是這個(gè)三位數(shù)的各位上的數(shù)的平方和，試求符合條件的所有三位數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)已知得出要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，進(jìn)而討論當(dāng)a-b+c=0時(shí)，得9a+b=a²+b²+c²，以及當(dāng)a-b+c=11時(shí)，得9a+b+1=a²+b²+c²．分別求出即可．
解答：解：設(shè)三位數(shù)為100a+10b+c，a，b，c都是整數(shù)，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c為奇數(shù)，
那么 ，
∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c，
a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18．
∴-8＜a-b+c＜18，
要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，
（ 1）當(dāng)a-b+c=0時(shí)，得9a+b=a²+b²+c²．
以b=a+c代入，并整理為關(guān)于a的二次方程，得
2a²+2（c-5）a+2c²-c=0
把c=1，3，5，7，9 逐一討論a的解
當(dāng)c=1時(shí)，無(wú)整數(shù)解，當(dāng) c=3，5，7，9時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根；
∴此時(shí)沒(méi)有滿足條件的三位奇數(shù)；

（2）當(dāng)a-b+c=11時(shí)，得9a+b+1=a²+b²+c²．
以b=a+c-11代入，并整理為關(guān)于a的二次方程，得
2a²+2（c-16）a+2c²-23c+131=0．
把c=1，3，5，7，9 逐一討論a的解
當(dāng)c=1時(shí)，無(wú)整數(shù)解，當(dāng) c=5，7，9時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根；
只有當(dāng)c=3時(shí)，a=8，b=0適合所有條件．
即所求三位數(shù)為803．
綜上所述，符合條件的三位數(shù)為803．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)的整除性以及整數(shù)的十進(jìn)制表示法，根據(jù)已知得出a-b+c被11整除，其值只能是0和11是解題關(guān)鍵．