Question

（2013•甘井子區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CA是⊙O的切線(xiàn)，在⊙O上取點(diǎn)D，連接CD，使得AC=DC，延長(zhǎng)CD交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）作AF⊥CD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，若⊙O的半徑是6cm，ED=8cm，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OD、OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OA⊥AC，即∠OAC=90°，然后利用“SSS”可判斷△OAC≌△ODC，則∠ODC=∠OAC=90°，于是可根據(jù)切線(xiàn)的判斷方法得到結(jié)論；
（2）連結(jié)BG，在Rt△OBD中，利用勾股定理計(jì)算出OB=10，由AF⊥CD，OD⊥CD得到OD∥AF，則△EOD∽△EAF，然后利用相似比可計(jì)算出AF=

48

5

，
由AB為⊙O的直徑，得∠AGB=90°，所以BG∥EF，然后根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到

AE

BE

=

AF

GF

，再把BE、AE、AF的長(zhǎng)代入計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OD、OC，如圖，
∵CA是⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
在△OAC和△ODC中

OA=OD OC=OC CA=CD

，
∴△OAC≌△ODC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：連結(jié)BG，如圖，
在Rt△OED中，DE=8cm，OD=6cm，
∴OE=

82+62

=10，
∵AF⊥CD，
∴OD∥AF，
∴△EOD∽△EAF，

∴

OD

AF

=

EO

EA

，即

6

AF

=

10

10+6

，
∴AF=

48

5

，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴

AE

BE

=

AF

GF

，
而AE=BO+OA=10+6=16，
∴BE=AE-AB=16-12=4，
∴

16

4

=

48 5

GF

，
∴GF=

12

5

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)；圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．