Question

（2013•溫州）一塊矩形木板，它的右上角有一個圓洞，現(xiàn)設(shè)想將它改造成火鍋餐桌桌面，要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對角線的交點上．木工師傅想了一個巧妙的辦法，他測量了PQ與圓洞的切點K到點B的距離及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），從點N沿折線NF-FM（NF∥BC，F(xiàn)M∥AB）切割，如圖1所示．圖2中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼接成符合要求的矩形桌面示意圖（不重疊，無縫隙，不記損耗），則CN，AM的長分別是

18cm、31cm

．

Answer 1

分析：如圖，延長OK交線段MF于點M′，延長PQ交BC于點G，交FN于點N′，設(shè)圓孔半徑為r．在Rt△KBG中，根據(jù)勾股定理，得r=16（cm）．根據(jù)題意知，圓心O在矩形EFGH的對角線上，則KN′=

1

2

AB=42cm，OM′=KM′+r=

1

2

CB=65cm．則根據(jù)圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得CN=QG-QN′=44-26=18（cm），AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm）．

解答： 解：如圖，延長OK交線段MF于點M′，延長PQ交BC于點G，交FN于點N′．
設(shè)圓孔半徑為r．
在Rt△KBG中，根據(jù)勾股定理，得
BG²+KG²=BK²，即（130-50）²+（44+r）²=100²，
解得，r=16（cm）．
根據(jù)題意知，圓心O在矩形EFGH的對角線上，則            
KN′=

1

2

AB=42cm，OM′=KM′+r=

1

2

CB=65cm．
∴QN′=KN′-KQ=42-16=26（cm），KM′=49（cm），
∴CN=QG-QN′=44-26=18（cm），
∴AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm），
綜上所述，CN，AM的長分別是18cm、31cm．
故填：18cm、31cm．

點評：本題以改造矩形桌面為載體，讓學(xué)生在問題解決過程中，考查了矩形、直角三角形及圓等相關(guān)知識，積累了將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題經(jīng)驗，滲透了圖形變換思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法在現(xiàn)實問題中的應(yīng)用價值．