Question

如圖，已知拋物線經過點A（-1，0），B（4，-5），C （0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線CD的解析式為y=x+b，將直線CD沿著y軸方向平移2個單位得直線AN，交x、y軸于點A、N．
①求直線AN的解析式；
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以點P為圓心的圓同時與直線AN、y軸相切？若有，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）根據將點C（0，3）代入y=x+b，即可得出一次函數(shù)解析式；
（3）根據y=-x²+2x+3的對稱軸是X=1，得出直線y=x+1與對稱軸X=1的交點坐標是（1，2），再利用等腰直角三角形的性質求出．

解答：解：（1）∵拋物線經過點A（-1，0），B（4，-5），
C （0，3）．
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=-5 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+3；

（2）將點C（0，3）代入y=x+b，
解得b=3，
所以直線AN的解析式y(tǒng)=x+1；

（3）y=-x²+2x+3的對稱軸是x=1，
直線y=x+1與對稱軸X=1的交點坐標是（1，2），依題意設p（1，y）．
當點p在直線y=x+1的下方（如圖2），
證明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=

2

，所以

2

+y=2，即y=2-

2

，所以P點的坐標是（1，2-

2

）．
當點p在直線y=x+1的上方（如圖3），
證明△MFP是等腰直角三角形后可得EP=FP=FM=1，
所以MP=

2

，所以y=2+

2

，所以P點的坐標是（1，2+

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及求一次函數(shù)解析式和等腰直角三角形的性質等知識，利用數(shù)形結合進行分類討論是這部分考查重點同學們應重點掌握．