Question

【題目】觀察探究，解決問題．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做中點(diǎn)四邊形．
（1）如圖1，求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）請你探究并填空：
①當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點(diǎn)四邊形是；
②當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時，它的中點(diǎn)四邊形是；
③當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時，它的中點(diǎn)四邊形是；
（3）如圖2，當(dāng)中點(diǎn)四邊形EFGH為矩形時，對角線EG與FH相交于點(diǎn)O，P為EH上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥EG，PN⊥FH，垂足分別為M、N，若EF=a，F(xiàn)G=b，請判斷PM+PN的長是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接AC，如圖1，

在△DAC中，HG∥AC，且HG= AC，

在△BAC中，EF∥AC，且EF= AC，

∴HG∥EF，且HG=EF，

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（2）平行四邊形；菱形；正方形
（3）

解：如圖，

連接PO，

在矩形EFGH中：EO=HO= EG= ，

∵S△EOH= S四邊形EFGH= ab=S△POE+S△POH，

∴ PM×EO+ PN×HO= ab，

∴ （PM+PN）= ab，

∴PM+PN= ．

故PM+PN是定值

【解析】解： （2）①在△DAC中，HG∥AC，且HG= AC，
在△BAC中，EF∥AC，且EF= AC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
所以答案是平行四邊形，
②由（1）有，四邊形EFGH是平行四邊形．
同（1）的方法得，EH= BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD
∴EH=EF，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
所以答案是菱形，
③由（2）②有，四邊形EFGH是菱形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠EFG=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
所以答案是正方形，