Question

已知二次函數(shù)y=x²+mx+m-5，
（1）求證：不論m取何值時(shí)，拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）求當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)b²-4ac與0的大小關(guān)系來判斷二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即m²-4（m-5）是否大于0，算出其取值范圍即可；
（2）設(shè)函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的值為x₁，x₂，且x₂＞x₁，然后可根據(jù)函數(shù)兩個(gè)值的和等于m，兩個(gè)值的積等于m-5算出x₂-x₁的值，最后求出其最小值即可．
解答：解：（1）根據(jù)b²-4ac與0的大小關(guān)系來判斷二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即m²-4×1×（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16＞0，
所以拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的值為x₁，x₂，且x₂＞x₁，
x₁+x₂=-m，且x₁•x₂=m-5，
所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16，
所以當(dāng)m=2時(shí)，x₂-x₁有最小值4，
所以，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短為4．
點(diǎn)評：本題主要考查對于a²-4ab與0的等量關(guān)系來判斷二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判定，以及對于二次函數(shù)性質(zhì)的掌握．