Question

（2013•十堰模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，點A、B在圓O上，且∠BAC=

1

2

∠AOB，∠ABO的平分線交AO于E．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求⊙O半徑的長；
（3）求

AE

AO

的值．

Answer 1

分析：（1）過點O作OF⊥AB于F，根據(jù)垂徑定理可得∠AOF=

1

2

∠AOB，從而得到∠BAC=∠AOF，然后求出∠OAC=∠OAF+∠AOF=90°，再根據(jù)切線的定義證明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB的長，然后求出△ABC和△AOF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得解；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

AE

OE

=

AB

OB

，然后求解即可．

解答：（1）證明：如圖，過點O作OF⊥AB于F，
由垂徑定理得，∠AOF=

1

2

∠AOB，
∵∠BAC=

1

2

∠AOB，
∴∠BAC=∠AOF，
∴∠BAC+∠OAF=∠AOF+∠OAF=180°-90°=90°，
∴OA⊥AC，
∵點A在⊙O上，
∴直線AC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∴AF=

1

2

AB=

5

2

，
∵∠BAC=∠AOF，∠ACB=∠AFO=90°，
∴△ABC∽△AOF，
∴

AO

AB

=

AF

BC

，
即

AO

5

=

5 2

4

，
解得AO=

25

8

，
即，⊙O半徑的長

25

8

；

（3）解：∵BE是∠ABO的平分線，
∴

AE

OE

=

AB

OB

=

5

25 8

=

8

5

，
∴

AE

AO

=

8

5+8

=

8

13

．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了圓的切線的定義，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，（3）角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于兩邊的比大部分教材已經(jīng)不作要求，可酌情使用．