Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=2

10

．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+6的解析式；
（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PBC=

1

2

S梯形ABCD？若存在，請求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得AO長，那么可利用勾股定理求得BO長，進(jìn)而求得B坐標(biāo)；
（2）把B，D坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+6即可求得拋物線解析式；
（3）易求得梯形的面積，也就得到了梯形的面積的一半的值．設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，那么S_△BCP=

1

2

×BC×|y|，可得y的兩個(gè)值代入（2）中的函數(shù)解析式即可求得相應(yīng)的x的值．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）在Rt△ABC中，AB=2

10

，OA=D_{縱坐標(biāo)}=6，
∴BO=

AB2-AO2

=2，
∵點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上
∴B（-2，0）；

（2）依題意，
得

4a-2b+6=0 16a+4b+6=6

，
解這個(gè)方程組，得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x2+2x+6；

（3）∵A（0，6），D（4，6）
∴AD=4
過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則四邊形DEOA是矩形，
有DE=OA=6，AD=OE=4
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴CD=AB=2

10

由勾定理得：CE=

DC2-CE2

=

(2 10 )2-62

=2
∴OC=2+4=6
∴C（6，0）
∵B（-2，0）
∴BC=8
∴S梯形ABCD=

1

2

×(4+8)*6=36
∵S△PBC=

1

2

S梯形ABCD
∴S△PBC=

1

2

*36=18
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|
∴

1

2

×8×|y|=18
∴y=±

9

2

∴p1(x，

9

2

)，p2(x，-

9

2

)
∵點(diǎn)p1(x，-

9

2

)在拋物線上
∴-

1

2

x2+2x+6=-

9

2

解這個(gè)方程得：x₁=-3，x₂=7
點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為(-3，-

9

2

)，(7，-

9

2

)
同理可求得：P₂的坐標(biāo)為(2+

7

，

9

2

)，(2-

7

，

9

2

)
所P點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，-

9

2

)，(7，-

9

2

)，(2+

7

，

9

2

)，(2-

7

，

9

2

)．

點(diǎn)評：本題考查用勾股定理求解線段長；用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，需注意到一條線段距離為定值的點(diǎn)的縱坐標(biāo)有2個(gè)．