Question

如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”．
（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，．
求證：△ABC是“勻稱三角形”；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，我們又稱這個(gè)三角形為“水平勻稱三角形”．如圖2，現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)是1的小正方形組成的長(zhǎng)方形區(qū)域記為G, 每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點(diǎn)與O不重合）是x軸上的格點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)．在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P共有幾個(gè)？其中是否存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P，如果存在請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）4個(gè)，存在，（3，）．

試題分析：（1）應(yīng)用勾股定理求出AC和它的中線長(zhǎng)，根據(jù)勻稱三角形的定義即可證得．
（2）根據(jù)勻稱三角形的定義求解即可．
試題解析：（1） 如圖1，作AC邊的中線BD交AC于點(diǎn)D，
∵∠C=90°，BC= 2，AB = 2，∴AC =  = 4．
∴AD=CD=2，BD = ．∴AC = BD．
∴△ABC是“勻稱三角形”．

（2）①在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P共有4個(gè) ．
②在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P中，存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P．
如圖，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形．
∵A（3，0），C（2，0），B（4，0），D（3，0），∴AC＝1，BD＝1．
設(shè)PM、PN分別為CA、DB上的中線，
∴AM＝，AN＝, ∴AM＝AN=．
∴點(diǎn)A為MN的中點(diǎn)．
∵△PAC與△PBD是“水平勻稱三角形”，
∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1．∴PM＝PN=1．
∴PA⊥MN，即PA與x軸垂直．
∵A（3，0），∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)3．
在Rt△PMA中，PM＝1，AM=，∴PA＝．
∴P（3，）．
∴當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)．