Question

在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．
（1）如圖①，求證：

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

；
（2）如圖②，若BD=CD，求證：AB=AC；
（3）如圖③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的長．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分線的性質(zhì)可知，DE=DF，再由三角形的面積公式求解即可；
（2）根據(jù)BD=CD，可知S_△ABD=S_△ACD，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到

AB

AC

=1，即AB=AC；
（3）過A作AE⊥BC，垂足為E，由三角形的面積公式可得出

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

，再由（1）的結(jié)論即可求出BD的長．

解答：
解：（1）如圖①，證明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE=DF
∴

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB•DE

1 2 AC•DF

=

AB

AC

；

（2）∵BD=CD，∴S_△ABD=S_△ACD
由（1）的結(jié)論

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

AB

AC

=1，
∴AB=AC；

（3）如圖③，過A作AE⊥BC，垂足為E，
∵S△ABD=

1

2

BD•AE，S△ACD=

1

2

DC•AE，
∴

S△ABD

S△ACD

=

BD

DC

由（1）的結(jié)論

S△ABD

S△ACD

=

AB

AC

，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

10

3

，DC=

8

3

．

點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式，由角平分線的性質(zhì)及三角形的面積公式作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．