Question

9．已知Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，連接CF．

（1）發(fā)現(xiàn)問題
如圖①，當(dāng)點D在邊BC上時．
①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD=CE，位置關(guān)系為BD⊥CE；
②求證：CE+CD=BC
（2）嘗試探究
如圖②，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明．
（3）拓展延伸
如圖③，當(dāng)點D在CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=6，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)△BAD≌△CAE得到BD=CE=2，計算即可．

解答 解：（1）①BD=CE，BD⊥CE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=90°，即BD⊥CE，
故答案為：BD=CE；BD⊥CE；
②∵BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD；
（2）（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系不成立，新的數(shù)量關(guān)系是CE=BC+CD，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD；
（3）由（2）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE=2，
∴CD=BC+CD=8．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．