Question

（2007•海淀區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=-

3

3

x+

2 3

3

交x軸于點C，交y軸于點A．等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，如圖A所示．把三角板繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α＜180°），使B點恰好落在AC上的B'處，如圖B所示．
（1）求圖A中的點B的坐標；
（2）求α的值；
（3）若二次函數(shù)y=mx²+3x的圖象經(jīng)過（1）中的點B，判斷點B′是否在這條拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-

3

3

x+

2 3

3

交x軸于點C，交y軸于點A，得出DO的長，進而得出B點坐標；
（2）根據(jù)已知得出在Rt△B′EO中，OB′=

2

，OE=1，得出∠EOD=90°，進而得出∠COD=30°；
（3）首先得出點B'的坐標為（

1+ 3

2

，

3 -1

2

），進而求出m的值，將B′點代入解析式，即可得出B′是否在這條拋物線上．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

3

x+

2 3

3

交x軸于點C，交y軸于點A，
∴點A的坐標為（0，

2 3

3

），點C的坐標為（2，0）．
∵等腰直角三角板OBD的頂點D與點C重合，
∴OD=2，∠BOD=45°．
過點B作BM⊥OC于M．
∴OM=

1

2

OD=1．
∴BM=1，OB=

2

．
∴點B的坐標為（1，1）

（2）∵OA=

2 3

3

，OC=2，∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°．
過點O作OE⊥AC于E．
∴OE=1．
∵在Rt△B′EO中，OB′=

2

，OE=1，
∴∠B′OE=45°．
∴∠EOD=90°．
又∵∠EOC=60°，
∴∠COD=30°．
∴α=30°．

（3）判斷：點B'在這條拋物線上．
理由：∵點B'在直線AC上，
∴點B'的坐標為（a，-

3

3

a+

2 3

3

）．
∵a²+（-

3

3

a+

2 3

3

）²=OB'²，
∴a²+（-

3

3

a+

2 3

3

）²=（

2

）²．
解方程，得a₁=

1+ 3

2

，a₂=

1- 3

2

（不合題意，舍去）．
∴點B'的坐標為（

1+ 3

2

，

3 -1

2

）．
又∵二次函數(shù)y=mx²+3x過B（1，1），
∴m=-2．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-2x²+3x．把x=

1+ 3

2

代入y=-2x²+3x，得y=

3 -1

2

∴點B'在這條拋物線上．
（注：對于每題的不同解法，請老師們根據(jù)評分標準酌情給分．）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出B′點坐標是解題關鍵．