Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)∠ABC=α，且cosα=．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①試求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t的值，使得△APQ是以AP為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求得b的值；然后用c表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠α的余弦值可求得∠α正弦值，進(jìn)而可用c表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得c的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）①此題應(yīng)分兩種情況討論：
1°當(dāng)P在線段AB上，即0＜t≤14時(shí)，可用t表示出AP、BQ的長(zhǎng)，根據(jù)∠α的正弦值，可用BQ表示出AP邊上的高，進(jìn)而可由三角形的面積公式得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
2°當(dāng)P在線段BC上，即14≤t≤24時(shí)，由于P、Q的速度相同，所以PQ的長(zhǎng)不變，而A到直線BC的距離也是定植，所以此時(shí)的S值不變．
②同①也分兩種情況考慮：1、點(diǎn)P在線段AB上，2、點(diǎn)P在線段BC上；可分別用t表示出AP、PQ、AQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)AP=PQ或AP=AQ兩種不同等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，進(jìn)而求得t的值．
解答：解：（1）-=1，-=1，b=，
∴y=-x²+x+c；
∵C（0，c），
∴OC=c，
∵cosα=，
∴tanα=；
∴OB=c，
∴B（c，0），
代入解析式中，得：0=-×c²+×x+c，c=6；
∴y=-x²+x+6；
令y=0，x²-2x-48=0，x=8或x=-6；
∴A（-6，0），B（8，0），C（0，6）．

（2）①1°如圖1，0＜t≤14；
則S=t×t，即S=t²；
2°如圖2，14≤t≤24；
∵PQ=AB=6+8=14，AH=AB=，
∴S=×14×=；
故S=．

②1°如圖3，0＜t≤14；
a、AP=AQ，則AP²=AQ²，
∴t²=（t）²+（14-t）²，
解得t=；
b、AP=PQ，則AP²=PQ²，
∴t²=（t）²+[t-（14-t）]²，
解得t=14或t=（不合題意，舍去）；
∴t=14．
2°如圖4，14≤t≤24，
a、AP=AQ，則AP²=AQ²，
[（t-14）]²-[14-（t-14）•t]²=（t）²+（14-t）²，
解得t=；
b、AP=PQ，則AP²=PQ²，
[（t-14）]²+[14-（t-14）•]²=14²，
解得t=（不合題意，舍去）或t=14，
∴t=14；
綜上可知：t=或t=或t=14時(shí)，△APQ是以AP為腰的等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)；在涉及動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，一定要注意分類討論思想的運(yùn)用，以免漏解．