Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為A（4，0），與軸的交點為B，過A、B的直線為。

    （1）求二次函數(shù)的解析式及點B的坐標；

    （2）由圖象寫出滿足的自變量的取值范圍；

    （3）在兩坐標軸上是否存在點P，使得是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，

求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

解：

  （1）將A（4，0）代入得：

       ，解得：。

       ∴所求二次函數(shù)的解析式為：  …………………2分

       當時，故點B的坐標為：B（0，3）  ………………………………4分

   （2）滿足的自變量x的取值范圍是：或  ………………8分

   （3）存在。

        如圖，作線段AB的垂直平分線l，垂足為C，分別交x軸和y于和，

        ∵A（4，0），B（0，3）

        ∴OA=4，OB=3

        ∴在RtAOB中，

        ∴

        ∵RtACP₁和RtAOB有公共角∠OAB

        ∴RtACP₁∽RtAOB

        ∴，即：，解得：

        而

        ∴點的坐標為：（，0） …………………………………………10分

        ∵RtP₂CB和RtAOB有公共角∠OBA

        ∴RtP₂CB∽RtAOB

        ∴，即：，解得：

        而

        ∴點的坐標為：（0，）

        ∴點P的坐標為：（，0），（0，） ……………………12分