Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交于點 （點 分別在 軸的左右兩側）兩點，與 軸的正半軸交于點 ,頂點為 ,已知點 .

（1）求點 的坐標；
（2）判斷△ 的形狀，并說明理由；
（3）將△ 沿 軸向右平移 個單位（ ）得到△ .△ 與△ 重疊部分（如圖中陰影）面積為 ,求 與 的函數(shù)關系式，并寫出自變量 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：如答題1所示：

∵點A（-1，0）在拋物線y=-（x-1）2+c上，

∴0=-（-1-1）2+c，得c=4，

∴拋物線解析式為：y=-（x-1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=-1或x=3，∴B（3，0）．

（2）解：△CDB為直角三角形．理由如下：

由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．

如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，則OM=1，DM=4，BM=OB-OM=2．

過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM-MN=DM-OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= ；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= ；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= ．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）

（3）解：設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴ ，

解得k=-1，b=3，

∴y=-x+3，

直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=-（x-t）+3=-x+3+t；

設直線BD的解析式為y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴ ，

解得：m=-2，n=6，

∴y=-2x+6．

連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（ ，3）．

在△COB向右平移的過程中：

（I）當0＜t≤ 時，如答圖2所示：

設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3-t．

設QE與BD的交點為F，則：

，解得 ，

∴F（3-t，2t）．

S=S△QPE-S△PBK-S△FBE= PEPQ- PBPK- BEyF= ×3×3- （3-t）2- t2t=- t2+3t；

（II）當 ＜t＜3時，如答圖3所示：

設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3-t．

直線BD解析式為y=-2x+6，令x=t，得y=6-2t，

∴J（t，6-2t）．

S=S△PBJ-S△PBK= PBPJ- PBPK= （3-t）（6-2t）- （3-t）2= t2-3t+ ．

綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為：

S= ．

【解析】（1）首先用待定系數(shù)法，將點A的坐標代入函數(shù)解析式，求出c的值，就可以求出拋物線的解析式，然后由x=0,求出函數(shù)值，得到點C的坐標，由y=0，建立方程求出自變量的值，得到點B的坐標。
（2）利用勾股定理分別求出△CDB三邊的平方，利用勾股定理的逆定理，求較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方，判定△CDB為直角三角形。
（3）先分別求出直線BC的解析式、直線QE的解析式、直線BD的解析式及點G的坐標。△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：當0＜t≤ 時，如圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形，根據S=S△QPE-S△PBK-S△FBE，即可求出結果；當 ＜t＜3時，如答圖3所示，根據S=S△PBJ-S△PBK，即可求出結果。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和勾股定理的逆定理的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形才能正確解答此題．