【題目】四邊形ABCD 中,AB=3,BC=4,E,F 是對角線 AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別從 A,C 同時(shí)出發(fā), 相向而行,速度均為 1cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)后就停止運(yùn)動(dòng).
(1)若 G,H 分別是 AB,DC 中點(diǎn),求證:四邊形 EGFH 始終是平行四邊形.
(2)在(1)條件下,當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 EGFH 為矩形.
(3)若 G,H 分別是折線 A﹣B﹣C,C﹣D﹣A 上的動(dòng)點(diǎn),與 E,F 相同的速度同時(shí)出發(fā),當(dāng) t 為何值時(shí),四邊形 EGFH 為菱形.
【答案】(1)證明見解析;
(2)當(dāng) t 為0.5s或4.5s時(shí),四邊形 EGFH 為矩形;
(3)t為s時(shí),四邊形EGFH為菱形.
【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,由勾股定理求出AC=5,由SAS證明△AFG≌△CEH,得出GF=HE,同理得出GE=HF,即可得出結(jié)論;
(2)先證明四邊形BCHG是平行四邊形,得出GH=BC=4,當(dāng)對角線EF=GH=4時(shí),平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:①AE=CF=t,得出EF=5-2t=4,解方程即可;②AE=CF=t,得出EF=5-2(5-t)=4,解方程即可;
(3)連接AG、CH,由菱形的性質(zhì)得出GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,得出OA=OC,AG=AH,證出四邊形AGCH是菱形,得出AG=CG,設(shè)AG=CG=x,則BG=4-x,由勾股定理得出方程,解方程求出BG,得出AB+BG=,即可得出t的值.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,
∴AC==5,∠GAF=∠HCE,
∵G,H分別是AB,DC中點(diǎn),
∴AG=BG,CH=DH,
∴AG=CH,
∵AE=CF,
在△AFG和△CEH中,
∴△AFG≌△CEH(SAS),
∴GF=HE,
同理:GE=HF,
∴四邊形EGFH是平行四邊形.
(2)由(1)得:BG=CH,BG∥CH,
∴四邊形BCHG是平行四邊形,
∴GH=BC=4,當(dāng)EF=GH=4時(shí),平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:
①AE=CF=t,EF=5﹣2t=4,解得:t=0.5;
②AE=CF=t,EF=5﹣2(5﹣t)=4,解得:t=4.5;
綜上所述:當(dāng)t為0.5s或4.5s時(shí),四邊形EGFH為矩形.
(3)連接AG、CH,如圖所示:
∵四邊形EGFH為菱形,
∴GH⊥EF,OG=OH,OE=OF,
∴OA=OC,AG=AH,
∴四邊形AGCH是菱形,
∴AG=CG,
設(shè)AG=CG=x,則BG=4﹣x,由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,即32+(4﹣x)2=x2,
解得:x=,
∴BG=4﹣=,
∴AB+BG=3+=,
即t為s時(shí),四邊形EGFH為菱形.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時(shí),請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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