【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(2,6),且與直線y=x+1相交于A,B兩點,點A在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交AB于點E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時,請求出點Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+x+1;(2)4;(3)(,),(,).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意得出B點坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)首先表示出P,E點坐標(biāo),再利用PE=PD-ED,結(jié)合二次函數(shù)最值求法進(jìn)而求出PE的最大值;
(3)根據(jù)題意可得:PE=BC,則-x2+4x=3,進(jìn)而求出Q點的橫坐標(biāo),再利用直線上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案.
試題解析:(1)∵BC⊥x軸,垂足為點C(4,0),且點B在直線y=x+1上,
∴點B的坐標(biāo)為:(4,3),
∵拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(2,6)和點B(4,3),
∴,
解得:,
故拋物線的解析式為:y=-x2+x+1;
(2)如圖所示:設(shè)動點P的坐標(biāo)為;(x,-x2+x+1),
則點E的坐標(biāo)為:(x, x+1),
∵PD⊥x軸于點D,且點P在x軸上,
∴PE=PD-ED=(-x2+x+1)-(x+1)
=-x2+4x
=-(x-2)2+4,
則當(dāng)x=2時,PE的最大值為:4;
(3)∵PC與BE互相平分,
∴PE=BC,
∴-x2+4x=3,即x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3,
∵點Q分別時PC,BE的中點,且點Q在直線y=x+1,
∴①當(dāng)x=1時,點Q的橫坐標(biāo)為:,
∴點Q的坐標(biāo)為:(,),
②當(dāng)x=3時,點Q的橫坐標(biāo)為:,
∴點Q的坐標(biāo)為:(,),
綜上所述,點Q的坐標(biāo)為:(,),(,).
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【題目】股市規(guī)定:股票每天的漲、跌幅均不超過10%,即當(dāng)漲了原價的10%后,便不能再漲,叫做漲停;當(dāng)?shù)嗽瓋r的10%后,便不能再跌,叫做跌停.若一支股票某天跌停,之后兩天時間又漲回到原價,若這兩天此股票股價的平均增長率為x,則x滿足的方程是 .
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【題目】正方形網(wǎng)格中(網(wǎng)格中的每個小正方形邊長是1),△ABC的頂點均在格點上,請在所給的直角坐標(biāo)系中解答下列問題:
(1)作出△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△AB1C1,再作出△AB1C1關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B2C2.
(2)點B1的坐標(biāo)為 ,點C2的坐標(biāo)為 .
(3)△ABC經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可直接得到△A1B2C2, .
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【題目】在數(shù)軸上到原點的距離6個單位長度的點表示的數(shù)為( )
A. 6 B. -6 C. 6或-6 D. 不能確定
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【題目】四邊形ABCD 中,AB=3,BC=4,E,F 是對角線 AC上的兩個動點,分別從 A,C 同時出發(fā), 相向而行,速度均為 1cm/s,運動時間為 t 秒,當(dāng)其中一個動點到達(dá)后就停止運動.
(1)若 G,H 分別是 AB,DC 中點,求證:四邊形 EGFH 始終是平行四邊形.
(2)在(1)條件下,當(dāng) t 為何值時,四邊形 EGFH 為矩形.
(3)若 G,H 分別是折線 A﹣B﹣C,C﹣D﹣A 上的動點,與 E,F 相同的速度同時出發(fā),當(dāng) t 為何值時,四邊形 EGFH 為菱形.
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連結(jié)CD和EF.
(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)求四邊形BDEF的周長.
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