Question

【題目】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（4,0），與y軸交于點(diǎn)C（0,4）.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線的一點(diǎn)，分別連接PB、PC，若直線BC恰好平分四邊形COBP的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，是否在該拋物線上存在一點(diǎn)Q,該拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)N，使得以A、P、Q、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,6）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，-)或（，）.

【解析】（1）把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+3x+4），根據(jù)四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP以及四邊形COBP的面積=2S△COB求解即可；

(3)分AQ和AN分別為對(duì)角線時(shí)進(jìn)行討論可得解.

（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c得，

,

解得：

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+3x+4；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x2+3x+4），如圖，

∴四邊形COBP的面積=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8

∵直線BC平分四邊形COBP的面積

∴四邊形COBP的面積=2S△COB

即：-2x2+8x+8=

解得x=2

將x=2代入拋物線表達(dá)式得y=6

故點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,6）

(3)存在

①當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

故Q（）

②當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

故Q（）

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（)或（）