Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DCB，使得點D落在x軸的正半軸上，連接OC，AD.

(1)求證：OC＝AD；

(2)求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OC＝2.

【解析】

（1）已知△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，可得△DCB也是邊長為2的等邊三角形，再證明△OBC≌△ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得結論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理求得∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，OD＝4，CD＝2，由勾股定理即可求得CO的長．

(1)證明：∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，∠AOB＝∠BAO＝∠OBA＝60°，

又∵△DCB是由△AOB旋轉(zhuǎn)得到的，

∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，

∴∠OBA＝∠CBD＝60°，BC＝BD,

又∠OBC＝∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC＝∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD(SAS),

∴OC＝AD.

(2)∵△AOB與△BCD是邊長為2的等邊三角形，

∴BO＝BC，∠OBA＝∠DBC＝∠BCD＝60°，

∴∠OBC＝120°，

∴∠BOC＝∠BCO＝30°，

∴∠OCD＝90°.

∵OD＝4，CD＝2，

∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得OC＝＝＝2.