精英家教網(wǎng)如圖,△OAB是邊長為2的等邊三角形,過點(diǎn)A的直線y=-
3
x
+m與x軸交于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)若點(diǎn)P是(2)中求出的拋物線AE段上一動點(diǎn)(不與A、E重合),設(shè)四邊形OAPE的面積為S,求S的最大值.
分析:(1)(2)由圖可作AF⊥x軸于F,根據(jù)直角三角形性質(zhì),用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)和的拋物線解析式;
(3)再作作PG⊥x軸于G,將四邊形OAPE的面積S用x0來表示,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)作AF⊥x軸于F,
∴OF=OAcos60°=1,AF=OFtan60°=
3

∴點(diǎn)A(1,
3
)(1分)
代入直線解析式,
-
3
3
×1+m=
3
,
∴m=
4
3
3

y=-
3
3
x+
4
3
3

當(dāng)y=0時(shí),-
3
3
x+
4
3
3
=0

得x=4,∴點(diǎn)E(4,0)(3分)

(2)設(shè)過A、O、E三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
∵拋物線過原點(diǎn)
∴c=0
a+b=
3
16a+4b=0
,
a=-
3
3
b=
4
3
3

∴拋物線的解析式為y=-
3
3
x2+
4
3
3
x
(6分)
精英家教網(wǎng)
(3)作PG⊥x軸于G,設(shè)P(x0,y0
S四邊形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
=
1
2
(
3
x0+3y0)=
1
2
(-
3
x
2
0
+5
3
x0)
(8分)
=-
3
2
(x0-
5
2
)2+
25
3
8

當(dāng)x0=
5
2
時(shí),S最大=
25
8
3
.(10分)
點(diǎn)評:此題考查知識點(diǎn)多,但題難度不大,需作輔多條輔助線,在直角三角形中解題,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長為4+2
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上.將△精英家教網(wǎng)OAB折疊,使點(diǎn)A與OB邊上的點(diǎn)P重合,折痕與OA、AB的交點(diǎn)分別是E、F.如果PE∥x軸,
(1)求點(diǎn)P、E的坐標(biāo);
(2)如果拋物線y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P、E,求拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸正方向上,將△OAB折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo);
(2)當(dāng)A′E∥x軸,且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí),求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動,但不與點(diǎn)O、B重合時(shí),能否使△A′EF成為直角三角形?精英家教網(wǎng)若能,請求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不能,請你說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸的正方向上,將△OAB折疊,使點(diǎn)A落在OB邊上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A'的坐標(biāo)和直線A′F所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在OB上是否存在點(diǎn)A′,使四邊形AFA′E是菱形?若存在,請求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動但不與點(diǎn)O、B重合,能否使△A′EF成為直角三角形?若能,請求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不能,請你說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸正方向上,將△OAB 折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo);
(2)當(dāng)A′E∥x軸,且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c
經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí),求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo).

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