如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸的正方向上,將△OAB折疊,使點(diǎn)A落在OB邊上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A'的坐標(biāo)和直線A′F所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在OB上是否存在點(diǎn)A′,使四邊形AFA′E是菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動(dòng)但不與點(diǎn)O、B重合,能否使△A′EF成為直角三角形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)你說明理由.
分析:(1)△OAB是邊長(zhǎng)為2+
3
的等邊三角形,則∠A′OE=60°,又A′E∥x軸,則∠OA′E=90°,所以,A′E=
3
OA′,OE=2OA′,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,AE=A′E,所以,A′E+OE=2+
3
,即
3
OA′+2OA′=2+
3
,可得OA′=1,即可知點(diǎn)A'的坐標(biāo);根據(jù)折疊的性質(zhì)與直線y=kx+b中k的幾何意義,利用待定系數(shù)法可以求得直線A′F的關(guān)系式;
(2)在OB上存在點(diǎn)A′,使四邊形AFA′E是菱形;利用等邊△OAB的性質(zhì)、菱形的對(duì)角相等的性質(zhì)證得△BA′F、△A′OE為等邊三角形;然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與菱形的對(duì)邊平行與鄰邊相等的性質(zhì)可以證得點(diǎn)A′是OB的中點(diǎn),從而求得點(diǎn)A′的坐標(biāo);
(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:∠FA′E=∠A,因此∠FA′E不可能為直角,因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能:
①∠A′EF=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì),∠A′EF=∠AEF=90°,此時(shí)A′與O重合,與題意不符,因此此種情況不成立.
②∠A′FE=90°,同①,可得出此種情況也不成立.
因此A′不與O、B重合的情況下,△A′EF不可能成為直角三角形.
解答:解:(1)設(shè)過點(diǎn)A′、F的直線為y=ax+b(a≠0).
∵△OAB是等邊三角形,
∴由已知可得∠A′OE=60°;
又∵將△OAB折疊,使點(diǎn)A落在OB邊上,記為A′,折痕為EF,
∴A′E=AE,∠FA′E=∠A=60°;
∵A′E∥x,
∴A′E⊥OB,
∴tan∠FA′E=
3
;
故設(shè)直線A′F的解析式為y=
3
x+b,A′的坐標(biāo)為(0,t);
∵AE=A′E=
3
t,OE=2t,
3
t+2t=2+
3
,
解得,t=1,
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(0,1);
∴1=
3
×0+b,
解得,b=1,
∴直線A′F的解析式為y=
3
x+1;

(2)在OB上存在點(diǎn)A′,使四邊形AFA′E是菱形;理由如下:
∵△OAB是等邊三角形,
∠BOA=∠A=∠OBA=60°;
又∵四邊形AFA′E是菱形,
∴A′F∥A′E,
∴∠BA′F=∠BOA=60°(兩直線平行,同位角相等),
∴△BA′F是等邊三角形,
∴BA′=A′F;
易證△A′OE為等邊三角形,
∴OA′=A′E;
∵A′F=A′E(菱形的鄰邊相等),
∴A′B=OA′(等量代換),
∴A′(0,1+
3
2
);

(3)不可能使△A′EF成為直角三角形.
理由如下:
∵∠FA′E=∠FAE=60°,
若△A′EF成為直角三角形,只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°,利用對(duì)稱性,則∠AEF=90°,
A、E、A三點(diǎn)共線,O與A重合,與已知矛盾;
同理若∠A′FE=90°也不可能,
所以不能使△A′EF成為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一次函數(shù)綜合題.解題時(shí)利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性比較強(qiáng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,過點(diǎn)A的直線y=-
3
x
+m與x軸交于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求過A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)若點(diǎn)P是(2)中求出的拋物線AE段上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合),設(shè)四邊形OAPE的面積為S,求S的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為4+2
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上.將△精英家教網(wǎng)OAB折疊,使點(diǎn)A與OB邊上的點(diǎn)P重合,折痕與OA、AB的交點(diǎn)分別是E、F.如果PE∥x軸,
(1)求點(diǎn)P、E的坐標(biāo);
(2)如果拋物線y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)P、E,求拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸正方向上,將△OAB折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo);
(2)當(dāng)A′E∥x軸,且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí),求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動(dòng),但不與點(diǎn)O、B重合時(shí),能否使△A′EF成為直角三角形?精英家教網(wǎng)若能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)你說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是邊長(zhǎng)為2+
3
的等邊三角形,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)B在y軸正方向上,將△OAB 折疊,使點(diǎn)A落在邊OB上,記為A′,折痕為EF.
(1)當(dāng)A′E∥x軸時(shí),求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo);
(2)當(dāng)A′E∥x軸,且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c
經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí),求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo).

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