【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,∠DAB=60°.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以cm/s的速度,沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng);與此同時(shí),點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線(xiàn)AB作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),P、Q都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
(1)當(dāng)P異于A.C時(shí),請(qǐng)說(shuō)明PQ∥BC;
(2)以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓,請(qǐng)問(wèn):在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,t為怎樣的值時(shí),⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)?
【答案】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,且菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。
如圖1,連接BD交AC于O。
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。
運(yùn)動(dòng)ts后,AP=t,AO=t,∴。
又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
(2)如圖2,⊙P與BC切于點(diǎn)M,連接PM,則PM⊥BC。
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=,
此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。
如圖3,⊙P過(guò)點(diǎn)B,此時(shí)PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴當(dāng)時(shí),⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)。
如圖4,
⊙P過(guò)點(diǎn)C,此時(shí)PC=PQ,即=t
∴t=。
∴當(dāng)1≤t≤時(shí),⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,即t=2時(shí),Q、B重合,⊙P過(guò)點(diǎn)B,
此時(shí),⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)。
綜上所述,當(dāng)t=或1≤t≤或t=2時(shí),⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)。
【解析】
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,菱形的性質(zhì),含30°角直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行的判定,切線(xiàn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)。
(2)分⊙P與BC切于點(diǎn)M,⊙P過(guò)點(diǎn)B,⊙P過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C四各情況討論即可。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=90°,點(diǎn)C,D分別在射線(xiàn)OA,OB上,CE是∠ACD的平分線(xiàn),CE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠CDO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)∠OCD=56°(如圖①),試求∠F;
(2)當(dāng)C,D在射線(xiàn)OA、OB上任意移動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)O重合)(如圖②),∠F的大小是否變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由若不變化求出∠F.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E,F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn),且AE=CF.
(1)求證:四邊形BEDF是菱形;
(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AE=,求菱形BEDF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓⊙O的半徑為1,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),∠CAB=90°,AC=AB,頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線(xiàn)AB與⊙O相切時(shí),A點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC≌△ADE,∠DAC=70°,∠BAE=100°,BC、DE相交于點(diǎn)F,則∠DFB度數(shù)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:①;②;③;④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
問(wèn)題:已知方程x2+x﹣1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=,把x=,代入已知方程,
得()2 +﹣1=0.
化簡(jiǎn),得y2+2y﹣4=0,
故所求方程為y2+2y﹣4=0
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱(chēng)為“換根法”.
請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
(1)已知方程x2+2x﹣1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù),則所求方程為 ;
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作∠CBE=∠A,BE與射線(xiàn)CA相交于點(diǎn)E,與射線(xiàn)CD相交于點(diǎn)F.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段CA上時(shí),求證:BE⊥CD;
(2)若BE=CD,那么線(xiàn)段AC與BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所得到的結(jié)論;
(3)若△BDF是等腰三角形,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某地火車(chē)站及周?chē)暮?jiǎn)單平面圖.(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)代表1千米.)
(1)請(qǐng)以火車(chē)站所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,并表示出體育場(chǎng)A、超市B市場(chǎng)C、文化宮D的坐標(biāo).
(2)在這個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),連接OA,若∠AOB的度數(shù)大約為53°,請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)描述體育場(chǎng)相對(duì)于火車(chē)站的位置.
(3)要想用第(2)問(wèn)的方法描述文化宮在火車(chē)站的什么位置,需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)?
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