Question

如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₁C，求：
（1）弧AA₁的長(zhǎng)；
（2）在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板AC邊所掃過(guò)的扇形ACA₁的面積；
（3）在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板所掃過(guò)的圖形面積；
（4）在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板AB邊所掃過(guò)的圖形面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC，再根據(jù)勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)扇形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)弧BB₁與AB相交于D，可得△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BD=BC=1，再求出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ACD的面積，再根據(jù)三角板所掃過(guò)的面積=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，然后列式計(jì)算即可得解；
（4）根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)三角形的面積列式求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)AB邊掃過(guò)的面積等于三角板掃過(guò)的面積減去△BCE、△A₁CE₁、扇形ECE₁的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

22-12

=

3

，
∴弧AA₁=

90•π• 3

180

=

3

2

π；

（2）扇形ACA₁的面積=

90•π• 3 2

360

=

3

4

π；

（3）設(shè)弧BB₁與AB相交于D，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴三角板所掃過(guò)的圖形面積=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，
=

60•π•12

360

+

90•π• 3 2

360

+

3

4

，
=

11

12

π+

3

4

；

（4）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AC，
即

1

2

×2×CE=

1

2

×1×

3

，
解得CE=

3

2

，
S_△BCE+S_△A1CE1=S_△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S_扇形ECE1=

90•π•( 3 2 )2

360

=

3

16

π，
∴AB邊所掃過(guò)的圖形面積=（

11

12

π+

3

4

）-

3

2

-

3

16

π=

35

48

π-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形的面積公式，仔細(xì)分析圖形確定出三角板本身以及邊AC、AB所掃過(guò)的面積的組成是解題的關(guān)鍵．