Question

【題目】幾何模型：

條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．

問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�

方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連結A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．

模型應用：

（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連結BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連結ED交AC于P，則PB+PE的最小值是 ；

（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，連接ED交AC于點P，此時PB+PE最小值是ED的長度，由勾股定理即可求出ED的長為；

（2）延長AO交⊙O于點D，連接DC，AC，此時PA+PC的最小值為DC的長度，利用勾股定理即可求出DC的長度為；

（3）要求△PQR周長的最小值，即求PR+QR+PQ的最小值即可，作點C，使得點P與點C關于OB對稱，作點D，使得點P與點D關于OA對稱，連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點Q、R，此時PR+QR+PQ最小，且PR+QR+PQ=CD，即求出CD的長即可．

試題解析：（1）由題意知：連接ED交AC于點P，

此時PB+PE最小，最小值為ED，

∵點E是AB的中點，

∴AE=1，

由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，

∴ED=，

∴PB+PE的最小值為；

（2）延長AO交⊙O于點D，連接DC，AC，

∴AD=4，

∵∠AOC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴AC=OA=2，

∵AD是⊙O直徑，

∴∠ACD=90°，

∴由勾股定理可求得：CD=，

∴PA+PC的最小值為；

（3）作點C，使得點P與點C關于OB對稱，作點D，使得點P與點D關于OA對稱，

連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點Q、R，

此時PR+RQ+PQ最小，最小值為CD的長，

∵點P與點C關于OB對稱，

∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，

同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，

∵∠BOP+∠POA=45°，

∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，

由勾股定理可知：CD=，

∴△PQR周長的最小值為．