Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D。

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)連接BC，證明∠ACD=∠ABC；

(3)若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的長。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OC，易得OC∥AD，根據(jù)平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據(jù)OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論．

（2）連接OC，易得OC∥AD，根據(jù)平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據(jù)OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因為∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，所以∠ACD=∠ABC；

（3）在直角△ABC中，利用三角函數(shù)求得AC的長，然后在直角△CAD中，利用三角函數(shù)即可求得CD的長．

試題解析：連接OC，

∵直線l與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．

（2）∵直線l與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，

∴∠ACD=∠ABC；

（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°

∴直角△ABC中，AC=AB•sinA=12×=，∠BAC=30°

∴在直角△CBD中，∠CBD=∠BAC=30°，CD=AC=．

考點: 1.切線的性質；2. 圓周角定理．