Question

已知拋物線y=-（x-m）²+1與x軸的交點(diǎn)為A、B（B在A的右邊），與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）寫出m=1時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，是否存在△BOC為等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請你提出一個(gè)對任意的m值都能成立的正確命題（說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分略有差異）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將m=1代入y=-（x-m）²+1化簡可得拋物線的解析式為y=-x²+2x；
（2）存在．令y=0時(shí)得出（x-m）²=1得出A，B的坐標(biāo)．令x=0時(shí)得出點(diǎn)C在原點(diǎn)下方得出OC=m²-1，求出m的實(shí)際值；
（3）已知拋物線y=-（x-m）²+1，根據(jù)m值的不同分情況解答．
解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為y=-x²+2x．
正確的結(jié)論有：
①拋物線的解析式為y=-x²+2x；
②開口向下；
③頂點(diǎn)為（1，1）；④拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；
⑤與x軸另一個(gè)交點(diǎn)是（2，0）；
⑥對稱軸為x=1；等（3分）
說明：每正確寫出一個(gè)得一分，最多不超過（3分）．

（2）存在．
當(dāng)y=0時(shí)，-（x-m）²+1=0，即有（x-m）²=1．
∴x₁=m-1，x₂=m+1．
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊，
∴A（m-1，0），B（m+1，0）（4分）
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊
∴OB=m+1
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1-m²，點(diǎn)C在原點(diǎn)下方
∴OC=m²-1．（5分）
當(dāng)m²-1=m+1時(shí)，m²-m-2=0
∴m=2或m=-1（因?yàn)閷ΨQ軸在y軸的右側(cè)，m＞0，所以不合要求，舍去），
∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時(shí)m=2．（7分）

（3）如①對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1的頂點(diǎn)都在直線y=1上；
②對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是一個(gè)定值；
③對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為2．
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考生要注意的是要分情況解答未知數(shù)，難度中上．