Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠B=60°，∠C=30°，AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，BE=

3

，Rt△ABE沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，平移速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)平移過(guò)程中，設(shè)△ABE與直角梯形ADCE重疊部分的面積為S，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)t的值；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）點(diǎn)G為直線(xiàn)DF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABE平移到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，將△BDG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△B′DG′（B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G′），△BGG′的面積能否等于

3

4

？若能，請(qǐng)求CG′的長(zhǎng)度，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)值求出CE的值，就可以求出t的值；
（2）分四種情況運(yùn)用三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，根據(jù)方程解的額情況就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，∵AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，
∴AE∥DF，∠AEB=∠AEC=∠DFB=∠DFC=90°．
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∴AE=DF，AD=EF．
∵∠B=60°，∠C=30°，
∴∠BAE=30°，∠FDC=60°．
∵BE=

3

，
在Rt△ABE中由勾股定理，得
AE=3，AB=2

3

，
∴DF=3
∵AB=AD，
∴AD=EF=2

3

．
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
CF=3

3

，CD=6，t=5

3

÷1=5

3

．

（2）如圖1，當(dāng)0＜t≤

3

時(shí)，
EE₁=t，B₁E=

3

-t，GE=3-

3

t，
∴S=

(3- 3 t+3)t

2

=

6t- 3 t2

2

；
如圖1，當(dāng)

3

＜t≤2

3

時(shí)，
S=

3 ×3

2

=

3 3

2

；
如圖2，當(dāng)2

3

＜t≤3

3

時(shí)，
E₃F=t-2

3

，B₃F=3

3

-t，
∴FH=9-

3

t，E₃C=5

3

-t，
∴E₃S=

15- 3 t

3

，DH=3-9+

3

t=

3

t-6，
∴DR=

3

2

t-3
∴RH=

3

2

t-3

3

，
S=

( 15- 3 t 3 +3)(t-2 3 )

2

-

( 3 2 t-3)( 3 2 t-3 3 )

2

+

1

2

（3

3

-t）（9-

3

t），
S=

7 3

8

t²+

1

2

t+

27 3 -25

2

；
如圖3，當(dāng)3

3

＜t＜5

3

時(shí)，
E₄C=5

3

-t，E₄Q=

15- 3 t

3

，
∴A₄Q=

3 t-6

3

，
∴PQ=

3 t-6

6

，
∴A₄P=

t-2 3

2

，
∴S=

3 3

2

-

t-2 3 2 × 3 t-6 6

2

，
S=

- 3 t2+12t+24 3

24

．
綜上所述：S=

6t- 3 t2 2 (0＜t≤ 3 ) 3 3 2 ( 3 ＜t≤2 3 ) 7 3 8 t2+ 1 2 t+ 27 3 -25 2 (2 3 ＜t≤3 3 ) - 3 t2+12t+24 3 24 (3 3 ＜t＜5 3 )

．

（3）∵∠BAE=30°，∠FDC=60°，
∴∠BDG=30°．
∴∠BDG′=90°．
∵△DB′G′是由△DBG旋轉(zhuǎn)60°得到的，
∴∠GDG′=60°，DG=DG′
∴∠GDG′與∠FDC重合，△DGG′為等邊三角形
∴DG=GG′=DG′．
設(shè)DG=x，則DG′=x，CG′=6-x，
∴S_△DGG′=

3

4

x²，S_△DGB=

3 x

2

．
∵∠BDG′=90°，
∴△BDG′是直角三角形，
∴S_△BDG′=

3

x．
∴

3

x-

3

4

x²-

3 x

2

=

3

4

，
解得：x₁=x₂=1，
∴CG′=6-1=5
如圖5，當(dāng)點(diǎn)G在FD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
S_△G′DB+S_△G′GD-S_△GDB=

3

4

，
∴

3

x+

3

4

x²-

3 x

2

=

3

4

，
x₁=-1-

2

（舍去），x₂=-1+

2

，
∴CG′=6+（-1+

2

）=5+

2

；
如圖6，當(dāng)點(diǎn)G在DF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
S_△BGD+S_△DGG′-S_△BDG′=

3

4

，

3

2

x+

3

4

x2-

3

x=

3

4

，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

（舍去），
∵DG＞DF＞3，
∴x₁=1+

2

（舍去）．

答：CG′的長(zhǎng)度為5或5+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用和等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答時(shí)靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．