Question

【題目】如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-4．

（1）求直線的函數(shù)解析式；

（2）求拋物線的函數(shù)解析式；

（3）分別求出tan∠ABC和tan∠BAC的值；

（4）在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）tan∠ABC=，tan∠BAC=；（4）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)P（6，），使得△PAB∽△ABC．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)交點(diǎn)式可以求出，的值，從而確定出A、B的坐標(biāo)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，求出b的值即可解決.

（2）D點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，且知道D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故可以將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求k的值，依次解決.

（3）由圖可知，∠ABC和∠BAC分別在Rt△AOC和Rt△BOC中，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，分別求兩角的正切值即可.

（4）連接PA，過點(diǎn)P作PH垂直軸于H，根據(jù)二次函數(shù)解析式，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出PH和AH，分兩種情況進(jìn)行討論，分別是△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，列出比例式分別計(jì)算求解，然后進(jìn)行判斷即可.

解：（1）由解得-2，4，

∴A（-2，0），B（4，0），且B點(diǎn)在直線上，

∴，解得，

∴直線BD的函數(shù)解析式為．

（2）點(diǎn)D在直線BD上，橫坐標(biāo)為-4，故有

，

∴D（-4，），且點(diǎn)D在拋物線上，故有

，

解得，

∴拋物線的函數(shù)解析式為．

化成一般式為：

（3）由（1）知A（-2，0），B（4，0），所以OA=2，OB=4，

C點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，

將代入（2）中拋物線的解析式求得，

∴C（0，），

∴OC=．

在Rt△AOC，Rt△BOC中，有tan∠ABC=，

tan∠BAC=．

（4）如圖，連接PA，過點(diǎn)P作PH垂直軸于H，

設(shè)P（，），且，

則PH=，AH=+2，分兩種情況：

①若△PAB∽△ABC，

則∠PAB=∠ABC，同時(shí)成立．

由tan∠PAB=tan∠ABC得：，

即，

解得．

∴P（6，），AH=8，

∴，

，

由A、B的橫坐標(biāo)求得BA=6，

，，

∴成立．

②若△PAB∽△BAC，

則∠PAB=∠BAC，同時(shí)成立．

由tan∠PAB=tan∠BAC得：

，

即，

解得，

∴P（8，），AH=10，

∴，

AC=，

，，

∴．

綜上，在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)P（6，），使得△PAB∽△ABC．