Question

【題目】如圖，正方形的邊，在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿軸的正方向運(yùn)動，規(guī)定點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動，點(diǎn)也停止運(yùn)動.連接，過點(diǎn)作的垂線，與過點(diǎn)平行于軸的直線相交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為.

（1）求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）.

（2）當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？

（3）探索周長是否隨時(shí)間的變化而變化.若變化，說明理由；若不變，試求出這個(gè)定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)為4秒或秒時(shí)，為等腰三角形（3）周長是定值，該定值為8

【解析】

（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的t值．

（3）由（2）已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．

（1）

如圖①.由題可得，.

四邊形是正方形，

，

.

，.

.

，，.

在和中，

.，.

，，.

，.點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）①若，則..

，.

點(diǎn)與點(diǎn)重合.

點(diǎn)與點(diǎn)重合.與條件“軸”矛盾，

這種情況應(yīng)舍去.

②若，則..

.

在和中，

≌.，..

點(diǎn)與點(diǎn)重合（）.點(diǎn)與點(diǎn)重合（）.

點(diǎn)，.此時(shí).

③若，

在和中，

.

.，..

，.

延長到點(diǎn)，使得，連接，如圖②所示.

在和中，

.，.

，，.

..

在和中，

.

..

.

，解得，

當(dāng)為4秒或秒時(shí)，為等腰三角形.

（3），

.

周長是定值，該定值為8.