【題目】如圖,點(diǎn)0是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=αOC=CD,

∠DOC=60°連接OD.

1)求證:△COD是等邊三角形

2)當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD的形狀,并說明理由

3)探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形

【答案】1)證明略。

2△AOD是直角三角形

3α=140°

【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD,結(jié)合題意即可證得結(jié)論;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可作出判斷;

(3)找到變化中的不變量,然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答.

(1)證明:∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC

CO=CD,∠OCD=60°

∴△COD是等邊三角形.

(2)解:當(dāng)=150°時(shí),△AOD是直角三角形

理由是:∵△BOC≌△ADC

∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等邊三角形

∴∠ODC=60°[來

∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°,即△AOD是直角三角形.

(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO

∵∠AOD= = ,∠ADO=

=

②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO

∵∠OAD=(∠AOD+∠ADO)==

=

③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.

∵∠AOD= = ,∠OAD==,解得

綜上所述:當(dāng)的度數(shù)為時(shí),△AOD是等腰三角形.

“點(diǎn)睛”本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)(如等邊三角形)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體,內(nèi)容由淺入深,層層遞進(jìn),試題中幾何演繹推理的難度適中,蘊(yùn)含著豐富的思想方法(如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(-2,1),B(3,1),C(2,3)三點(diǎn).請(qǐng)回答下列問題:

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(3)y軸上是否存在點(diǎn)P,使以A,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M,與BD相交于點(diǎn)O,與BC相交于點(diǎn)N,連接BM、DN.

(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的面積和對(duì)角線MN的長(zhǎng).

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【題目】如圖,為了測(cè)量某交通路口設(shè)立的路況顯示牌的立桿AB的高度,在D處用高1.2m的測(cè)角儀CD,測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為32°,已知觀測(cè)點(diǎn)D到立桿AB的距離DB為3.8m,求立桿AB的高度.(結(jié)果精確到0.1m)
【參考數(shù)據(jù):sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62】

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猜想:如圖①,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA和BC上時(shí),線段DE與DF的大小關(guān)系為________.
探究:如圖②,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA、BC的延長(zhǎng)線上時(shí),判斷線段DE與DF的大小關(guān)系,并加以證明.
應(yīng)用:如圖②,若DE=4,利用探究得到的結(jié)論,求△DEF的面積.

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【題目】如圖,△ABC由△A′B′C′繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到,則下列結(jié)論不成立的是( )

A.點(diǎn)A與點(diǎn)A′是對(duì)應(yīng)點(diǎn)
B.BO=B′O
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(1)如圖1,當(dāng)FAC的延長(zhǎng)線上時(shí),求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)FAC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示).

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(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;

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(3)點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°NGDE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形,并直接寫出ND,DGAD數(shù)量之間的關(guān)系.

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