Question

【題目】如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，平分，為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作分別交于，兩點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4 .

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠DCE=∠DEC，進(jìn)而得出DE=DC；

（2）連接DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DFC=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出BF=CF=EF= EC，再根據(jù)SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，據(jù)此可得AF⊥BF；

（3）根據(jù)等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根據(jù)公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，進(jìn)而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，

∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；

（2）如圖，連接DF，

∵DE=DC，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，

在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，

∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，

在△ABF和△DCF中， ，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，

∴AF⊥BF；

（3）CE=4 ．

理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，

∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，

∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，

∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴ ，即EF2=AFGF，

∵AFGF=28，∴EF=2 ，∴CE=2EF=4．