如圖(1),將Rt△AOB放置在平面直角坐標系xOy中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=,斜邊OB在x軸的正半軸上,點A在第一象限,∠AOB的平分線OC交AB于C.動點P從點B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動,運動時間為t秒,同時動點Q從點C出發(fā)沿折線CO-Oy以相同的速度運動,當點P到達點O時P、Q同時停止運動.
(1)OC、BC的長;
(2)設△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式;
(3)當P在OC上、Q在y軸上運動時,如圖(2),設PQ與OA交于點M,當t為何值時,△OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.

【答案】分析:(1)先在直角三角形AOB中根據(jù)OB和cos60°,利用三角函數(shù)的定義求出OA,然后根據(jù)角平分線的定義得到∠AOC等于30°,在△AOC中,利用OA和cos30°,由三角函數(shù)的定義即可求出OC的長,根據(jù)等角對等邊可知BC等于OC;
(2)分兩種情況考慮:第一,P在BC邊上,根據(jù)速度和時間t得到PB等于CQ都等于t,過Q作DE與AC垂直,QE等于CQsin60°,CP等于BC減去PB,利用三角形的面積公式即可列出S與t的函數(shù)關系式;第二,當P在邊CQ上時,同理可得S與t的關系式;
(3)分三種情況考慮:第一,OP為等腰三角形的底邊時,由∠MOP等于∠MPO都等于30°,則∠QOP為60°,得到PQ與OQ垂直,根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OP等于2OQ,分別表示出OP和OQ代入即可得到關于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;第二,當OP為等腰三角形的腰時,過P作PN⊥OQ,得到∠QPN=45°,所以△QPN為等腰直角三角形得到PN=QN,分別表示出PN和QN列出關于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;第三,當OP=PM時,PQ∥y,不存在三角形.
解答:解:(1)∵∠AOB=60°,
∴在Rt△AOB中,
,
∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠COB=30°,
,
∵∠COB=∠CBO=30°,
∴BC=OC=2;

(2)當0<t≤2時,=,
當2≤t<4時=-t2+t-2,
綜上:;

(3)(i)當MO=MP時,∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ,
∴OP=2OQ,
∴4-t=2(t-2),
;
(ii)當OP=OM時,過P作PN⊥OQ于N,
則∠QPN=45°,
∴PN=QN,
,解得
(iii)當OP=PM時,PQ∥y,
此時∠MOP=∠OMP=30°,
∴∠MPO=120°,
∵∠QOP=60°,
∴此時不存在;
綜上,當時,△OPM為等腰三角形.
點評:此題考查學生會根據(jù)已知的邊和角利用三角函數(shù)的定義求出未知邊和角,掌握直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半及等腰三角形的性質與判斷,注意靈活運用分類討論的方法解決實際問題,是一道綜合題.學生做題時應注意考慮問題要全面.
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如圖(1),將Rt△AOB放置在平面直角坐標系xOy中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2
3
,斜邊OB在x軸的正半軸上,點A在第一象限,∠AOB的平分線OC交AB于C.動點P從點B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動,運動時間為t秒,同時動點Q從點C出發(fā)沿折線CO-Oy以相同的速度運動,當點P到達點O時P、Q同時停止運動.
(1)OC、BC的長;
(2)設△CPQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式;
(3)當P在OC上、Q在y軸上運動時,如圖(2),設PQ與OA交于點M,當t為何值時,△OPM為等腰三角形?求出所有滿足條件的t值.
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(2012•永春縣模擬)已知Rt△AOB的兩條直角邊OA=3,OB=1,分別以OA、OB所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖所示.先將Rt△AOB繞原點O按順時針方向旋轉90°后,再沿x軸負方向平移1個單位長度得到△CDO.
(1)直接寫出點A、C的坐標;
(2)求線段AB掃過的圖形的面積.

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如圖,在平面內(nèi)將Rt△ABC繞著直角頂點C逆時針旋轉90°得到Rt△EFC.若AB=2
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,BC=
2
,則EC=
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2
3
2
,AF=
2
2
2
2

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