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如圖,在直角梯形OBCD中,OB=8,BC=1,CD=10.
(1)求C,D兩點的坐標;
(2)若線段OB上存在點P,使PD⊥PC,求過D,P,C三點的拋物線的表達式.

【答案】分析:(1)過點C作CE⊥OD于點E,則四邊形OBCE為矩形.利用矩形的性質可求得:C,D兩點的坐標分別為C(8,1),D(0,7).(2)根據PC⊥PD,可知∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∠2=∠3.則Rt△POD∽Rt△CBP,可求PO:1=7:(8-PO).求得PO=1,或PO=7.則點P的坐標為(1,0),或(7,0).設經過D,P,C三點的拋物線表達式為y=ax2+bx+c,分別利用待定系數法可求得①當點P的坐標為(1,0)時,所求拋物的表達式為:y=x2-x+7.
②當點P為(7,0)時,所求拋物線的表達式為:y=x2-x+7.
解答:解:(1)過點C作CE⊥OD于點E,則四邊形OBCE為矩形.
∴CE=OB=8,OE=BC=1.

∴OD=DE+OE=7.
∴C,D兩點的坐標分別為C(8,1),D(0,7).(4分)

(2)∵PC⊥PD,
∴∠1+∠2=90度.
又∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3.
∴Rt△POD∽Rt△CBP.
∴PO:CB=OD:BP.
即PO:1=7:(8-PO).
∴PO2-8PO+7=0.
∴PO=1,或PO=7.
∴點P的坐標為(1,0),或(7,0).(6分)
①當點P的坐標為(1,0)時,
設經過D,P,C三點的拋物線表達式為y=ax2+bx+c,
,
,
∴所求拋物線的表達式為:y=x2-x+7.(9分)
②當點P為(7,0)時,設經過D,P,C三點的拋物線表達式為y=ax2+bx+c,
,

∴所求拋物線的表達式為:y=x2-x+7.(10分)
(說明:求出一條拋物線表達式給(3分),求出兩條拋物線表達式給4分)
點評:本題考查二次函數的綜合應用,其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和三角形全等的判定以及全等的性質等.要熟練掌握才能靈活運用.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形OABD中,DB∥OA,∠OAB=90°,點O為坐標原點,點A在x軸的正半軸上,精英家教網對角線OB,AD相交于點M.OA=2,AB=2
3
,BM:MO=1:2.
(1)求OB和OM的值;
(2)求直線OD所對應的函數關系式;
(3)已知點P在線段OB上(P不與點O,B重合),經過點A和點P的直線交梯形OABD的邊于點E(E異于點A),設OP=t,梯形OABD被夾在∠OAE內的部分的面積為S,求S關于t的函數關系式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠OAB=90°,點O為坐標原點,點A在x軸的精英家教網正半軸上,對角線OB,AC相交于點M,OA=AB=4,OA=2CB.
(1)點C的坐標為
 
;
(2)求△OCM的面積;
(3)若點E在過O,A,C三點的拋物線的對稱軸上,點F為該拋物線上的點,且以A,O,F,E四點為頂點的四邊形為平行四邊形,求點F的坐標.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B兩點的坐標分別為A(13,0),B(11,12).動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā),點P以每秒2個單位的速度沿x軸向終點A運動,點Q以每秒1個單位的速度沿BC方向運動;當點P停止運動時,點Q也同時停止運動.線段PQ和OB相交于點D,過點D作DE∥x軸,交AB于點E,射線QE交x軸于點F.設動點P、Q運動時間精英家教網為t(單位:秒).
(1)當t為何值時,四邊形PABQ是平行四邊形.
(2)△PQF的面積是否發(fā)生變化?若變化,請求出△PQF的面積s關于時間t的函數關系式;若不變,請求出△PQF的面積.
(3)隨著P、Q兩點的運動,△PQF的形狀也隨之發(fā)生了變化,試問何時會出現等腰△PQF?

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形中OABC,已知B、C兩點的坐標分別為B(8,6)、C(10,0),動點M由原點O出發(fā)沿OB方向勻速運動,速度為1單位/秒;同時,線段精英家教網DE由CB出發(fā)沿BA方向勻速運動,速度為1單位/秒,交OB于點N,連接DM.若沒運動時間為t(s)(0<t<8).
(1)當t為何值時,以B、D、M為頂點的三角形△OAB與相似?
(2)設△DMN的面積為y,求y與t之間的函數關系式;
(3)連接ME,在上述運動過程中,五邊形MECBD的面積是否總為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形OABC中,OA、OC邊所在直線與x、y軸重合,BC∥OA,點B的坐標為(6.4,4.8),對角線OB⊥OA.在線段OA、AB上有動點E、D,點E以每秒2厘米的速度在線段OA上從點O向點A勻速運動,同時點D以每秒1厘米的速度在線段AB上從點A向點B勻速運動.當點E到達點A時,點D同時停止運動.設點E的運動時間為t(秒),
(1)求線段AB所在直線的解析式;
(2)設四邊形OEDB的面積為y,求y關于t的函數關系式,并寫出自變量的t的取值范圍;
(3)在運動過程中,存不存在某個時刻,使得以A、E、D為頂點的三角形與△ABO相似,若存在求出這個時刻t,若不存在,說明理由.

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