Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E，且AE=AC．（1）試說明：△ABF是等腰三角形；
（2）若AD=DC，試說明：AC=2AB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AAS證出△ABC≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）因?yàn)锳C⊥DE，若AD=DC，則可證明DE是AC的垂直平分線，即F是AC的中點(diǎn)，因?yàn)槿�角形ABC是直角三角形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF，
∴△ABF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥AC于點(diǎn)F，AD=DC，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴F是AC的中點(diǎn)，
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BF=

1

2

AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．